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第八章 平面解析几何
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) |a||a|aA. B. C．|a| D．－ 422|a|解析：由已知焦点到准线的距离为p＝.
2答案：B
2．过点A(4，a)与B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|＝ ( )
A．6 B.2 C．2 D．不确定 b－a
解析：由题知＝1，∴b－a＝1.
5－4∴|AB|＝(5－4)2＋(b－a)2＝2. 答案：B
x2y2
3．已知双曲线－＝1的离心率为e，抛物线x＝2py2的焦点为(e,0)，则p的值为( )
412
11
A．2 B．1 C. D.
416解析：依题意得e＝2，抛物线方程为y2＝答案：D
12
4．若直线ax＋2by－2＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则a＋b的最小值为
( )
A．1 B．5 C．42 D．3＋22 解析：由(x－2)2＋(y－1)2＝13，得圆心(2,1)， ∵直线平分圆的周长，即直线过圆心． ∴a＋b＝1.
b2a1212
∴a＋b＝(a＋b)(a＋b)＝3＋a＋b≥3＋22， b2a
当且仅当a＝b，即a＝2－1，b＝2－2时取等号， 12
∴a＋b的最小值为3＋22
111x，故＝2，得p＝. 2p8p16
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答案：D
x22
5．若双曲线2－y＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )
a
25323A. B. C. D．2
523解析：由a2＋1＝4，∴a＝3， ∴e＝
223
＝.
33
答案：C
6．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是 ( )
x2y2x2y2
A.－＝1 B.－＝1 916169x2y2x2y2
C.－＝1(x＞3) D.－＝1(x＞4) 916169
解析：如图|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6.
x2y2
根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)．
916答案：C
x2y25e
7．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x(e为双曲线离心率)，则有( )
ab5
A．b＝2a B．b＝5a C．a＝2b D．a＝5b b5解析：由已知＝e，
a5
b5c
∴＝×，∴c＝5b，又a2＋b2＝c2， a5a∴a2＋b2＝5b2，∴a＝2b. 答案：C
8．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )
17151517A. B. C．－ D．－ 161616161解析：准线方程为y＝，
16115
由定义知－yM＝1?yM＝－.
1616答案：C
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????????y
9．已知点A、B是双曲线x－＝1上的两点，O为坐标原点，且满足OA·OB＝0，则点O到直线AB
2
2
2 taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
的距离等于 ( ) A.2 B.3 C．2 D．22
????????解析：本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由OA·OB＝0?OA⊥OB，由于双曲线为中心
对称图形，为此可考查特殊情况，令点A为直线y＝x与双曲线在第一象限的交点，因此点B为直线y＝－x与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB与x轴垂直，点O到AB的距离就为点A或y??x2－2＝1点B的横坐标的值，由??x＝2.
??y＝x答案：A
x2y2
10．(2009·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1的渐近线与圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)相切，则r＝( )
63
A.3 B．2 C．3 D．6
1|3|
解析：双曲线的渐近线方程为y＝±x即x±2y＝0，圆心(3,0)到直线的距离d＝＝3. 22(2)＋1答案：A
x2y211．(2009·四川高考)已知双曲线－2＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，其一条渐近线方程为y＝x，
2b
2
????????点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1·PF2＝ ( )
A．－12 B．－2 C．0 D．4 解析：由渐近线方程y＝x得b＝2， x2y2
点P(3，y0)代入－2＝1中得y0＝±1.
2b不妨设P(3，1)，∵F1(2,0)，F2(－2,0)，
????????∴PF1·(－2－3，－1) PF2＝(2－3，－1)·
＝3－4＋1＝0. 答案：C
12．(2009·天津高考)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(3，0)的直线与抛物线相交于A、B两点，与
S△BCF抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比＝
S△ACF
( )
4241A. B. C. D. 5372
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解析：如图过A、B作准线l：x=-
1的垂线，垂足分别为A1，B1， 2由于F到直线AB的距离为定值． ∴
S△BCF|BC|
＝. S△ACF|CA|
又∵△B1BC∽△A1AC. ∴
|BC||BB1|
＝， |CA||AA1|
|BB1||BF|2
由拋物线定义＝＝.
|AA1||AF||AF|3
由|BF|＝|BB1|＝2知xB＝，yB＝－3，
2∴AB：y－0＝
(x－3)． 33－23
y2
把x＝代入上式，求得yA＝2，xA＝2，
25
∴|AF|＝|AA1|＝.
2故
S△BCF|BF|24
＝＝＝. S△ACF|AF|55
2
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
13．已知点(x0，y0)在直线ax＋by＝0(a，b为常数)上，则(x0－a)2＋(y0－b)2的最小值为________．
解析：(x0－a)2＋(y0－b)2可看作点(x0，y0)与点(a，b)的距离．而点(x0，y0)在直线ax＋by＝0上，所以(x0－a)2＋(y0－b)2的最小值为点(a，b)到直线ax＋by＝0的距离答案：a2＋b2
14．(2009·福建高考)过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p＝________. 解析：由焦点弦|AB|＝
2p2p
， 2得|AB|＝sinαsin245°
|a·a＋b·b|2222＝a＋b. a＋b
1
∴2p＝|AB|×，∴p＝2.
2答案：2
15．直线l的方程为y＝x＋3，在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x2－4y2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．
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解析：所求椭圆的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0),2a＝|PF1|＋|PF2|.欲使2a最小，只需在直线l上找一点P，使|PF1|＋|PF2|最小，利用对称性可解． x2y2
答案：＋＝1
54
16．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线准线的交点为B，
????????????????点A在抛物线准线上的射影为C，若AF＝FB，则抛物线的方程为______________． BA·BC＝48，
解析：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点， 故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p， |AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，
????∴∠ABC＝30°，|BC|＝23p，
????????BA·23p·cos30°＝48， BC＝4p·解得p＝2，
∴抛物线的方程为y2＝4x. 答案：y2＝4x
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知：圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A、B两点，且AB＝22时，求直线l的方程．
解：将圆C的方程x2＋y2－8y＋12＝0配方得标准方程为x2＋(y－4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l与圆C相切，则有3解得a＝－.
4
(2)过圆心C作CD⊥AB，则根据题意和圆的性质，
|4＋2a|＝2. a2＋1
?a＋1，
得?CD＋DA＝AC＝2，
1DA＝?2AB＝2.CD＝
2
22
2
2
|4＋2a|
解得a＝－7，或a＝－1.
故所求直线方程为7x－y＋14＝0或x－y＋2＝0.
18．(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
轴于
A
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