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解：法一：设点M的坐标为(x，y)， ∵M为线段AB的中点，
∴A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)． ∵l1⊥l2，且l1、l2过点P(2,4)， ∴PA⊥PB，kPA·kPB＝－1.
4－04－2y而kPA＝，kPB＝，(x≠1)，
2－2x2－0∴
22－y
·＝－1(x≠1)． 1－x1
整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)．
∵当x＝1时，A、B的坐标分别为(2,0)，(0,4)， ∴线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x＋2y－5＝0.
综上所述，点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0.
法二：设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连结PM， ∵l1⊥l2，∴2|PM|=|AB|.
22而|PM|=(x?2)?(y?4)， 22|AB|=(2x)?(2y), 22∴2(x?2)?(y?4)?4x2?4y2. 化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程． 法三：设M的坐标为(x，y)，
由l1⊥l2，BO⊥OA，知O、A、P、B四点共圆， ∴|MO|=|MP|，即点M是线段OP的垂直平分线上的点． ∵kOP=
4?0=2，线段OP的中点为(1,2)， 2?01 (x-1)， 2∴y-2=-
即x+2y-5=0即为所求．
19．(本小题满分12分)(2010·南通模拟)已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L：y＝－2相切．
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.
解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L：y＝－2为准线的抛物线．
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因为抛物线焦点到准线距离等于4， 所以圆心的轨迹是x2＝8y.
(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直， 设AB：y＝kx＋2. A(x1，y1)，B(x2，y2)． y＝kx＋2，??
由?12
y＝x，??8
可得x2－8kx－16＝0，x1＋x2＝8k，x1x2＝－16. 11抛物线方程为y＝x2，求导得y′＝x.
84
11111
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1＝x1，k2＝x2，k1k2＝x1·x2＝x1·x2＝－1.
444416所以AQ⊥BQ.
20．[理](本小题满分12分)给定抛物线C：y2＝4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B两点，记O为坐标原点．
????????(1)求OA·OB的值；
????????(2)设AF＝λFB，当△OAB的面积S∈[2，5 ]时，求λ的取值范围．
解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0)， 设直线l的方程为x＝my＋1，
将其与C的方程联立，消去x可得y2－4my－4＝0. 设A，B点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(y1>0>y2)， 则y1y2＝－4.
2
因为y21＝4x1，y2＝4x2，
122所以x1x2＝y1y＝1，
162
????????OB＝x1x2＋y1y2＝－3 故OA·????????(2)因为AF＝λFB，
所以(1－x1，－y1)＝λ(x2－1，y2)，
?1－x1＝λx2－λ， ①?即? ?－y＝λy， ②?12
2又y1＝4x1， ③
y22＝4x2， ④
12由②③④消去y1，y2后，得到x1＝λ2x2，将其代入①，注意到λ>0，解得x2＝λ.从而可得y2＝－，
λ 诚信经营 超值服务——天利会员：诚信精品——与您共建淘题精品世界 第7页 共11页
taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区 y1＝2λ， 11
故△OAB的面积S＝|OF|·|y1－y2|＝λ＋，
2λ因λ＋
11
≥2恒成立，所以只要解λ＋≤5即可， λλ
3－53＋5
解之得≤λ≤. 22
202
20．[文](本小题满分12分)已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝，椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的离心率为，若32圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程． c
解：∵e＝＝a
a2－b22
，∴a2＝2b2. 2＝a2
因此，所求椭圆的方程为x2＋2y2＝2b2，
又∵AB为直径，(2,1)为圆心，即(2,1)是线段AB的中点， 设A(2－m,1－n)，B(2＋m,1＋n)，则
??(2＋m)＋2(1＋n)＝2b，
?20|AB|＝2 ??3
2
2
2
2
2
2
(2－m)2＋2(1－n)2＝2b2，
??8m＋8n＝0，
????2m＋n＝2
228＋2m2＋4＋4n2＝4b2，
203
2b＝6＋m＋2n，????2得2b2＝16. 210??m＝n＝3，故所求椭圆的方程为x2＋2y2＝16.
????????1????21．(本小题满分12分)已知A、B、D三点不在一条直线上，且A(－2,0)，B(2,0)，|AD|＝2，AE＝(AB2????＋AD)．
(1)求E点的轨迹方程；
4
(2)过A作直线交以A、B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线5MN与E点的轨迹相切，求椭圆的方程．
????1????????解：(1)设E(x，y)，由AE＝(AB＋AD)，可知E为线段BD的中点，
2
又因为坐标原点O为线段AB的中点， 所以OE是△ABD的中位线，
????1????所以|OE|＝|AD|＝1，
2
所以E点在以O为圆心，1为半径的圆上，
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又因为A，B，D三点不在一条直线上， 所以E点不能在x轴上，
所以E点的轨迹方程是x2＋y2＝1(y≠0)．
x2y2
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，中点为(x0，y0)，椭圆的方程为2＋2＝1，直线MN的方程为y＝k(x
aa－4＋2)(当直线斜率不存在时不成立)， 由于直线MN与圆x2＋y2＝1(y≠0)相切， 所以
|2k|3
＝1，解得k＝±，
3k2＋1
3
所以直线MN的方程为y＝±(x＋2)，
3x2y23
将直线y＝±(x＋2)代入方程2＋2＝1，
3aa－4整理可得：4(a2－3)x2＋4a2x＋16a2－3a4＝0， x1＋x2a2
所以x0＝＝－2.
22(a－3)
4
又线段MN的中点到y轴的距离为，
5a24即x0＝－2＝－，解得a＝22.
52(a－3)x2y2
故所求的椭圆方程为＋＝1.
84
22．[理](本小题满分14分)(2010·东北四市模拟)已知O为坐标原点，点A、B分别在x轴，y轴上运动，
????3????且|AB|＝8，动点P满足AP＝PB，设点P的轨迹为曲线C，定点为M(4,0)，直线PM交曲线C
5
于另外一点Q. (1)求曲线C的方程； (2)求△OPQ面积的最大值．
解：(1)设A(a,0)，B(0，b)，P(x，y)，
????????则AP＝(x－a，y)，PB＝(－x，b－y)，
?x－a＝－5x，????3????∵AP＝PB，∴?53
y＝?5(b－y).
223
88
∴a＝x，b＝y.
53
x2y2
又|AB|＝a＋b＝8，∴＋＝1.
259x2y2
∴曲线C的方程为＋＝1.
259
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2 taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区
xy2(2)由(1)可知，M(4,0)为椭圆＋＝1的右焦点，
259设直线PM方程为x＝my＋4， xy??25＋9＝1，由?消去x得 ??x＝my＋4，(9m2＋25)y2＋72my－81＝0，
(72m)2＋4×(9m2＋25)×81∴|yP－yQ|＝ 9m2＋2590m2＋1＝. 9m2＋25
90m2＋11
∴S△OPQ＝|OM||yP－yQ|＝2× 29m2＋2520m2＋120m2＋120
＝＝＝ 161622522m＋m＋1＋m＋1＋
999m2＋1≤
2015＝， 823
2
2
16
当m2＋1＝，
9m2＋1
715
即m＝±时，△OPQ的面积取得最大值为，此时直线方程为3x±7y－12＝0.
32
[文](本小题满分14分)设椭圆ax2＋by2＝1与直线x＋y－1＝0相交于A、B两点，点C是AB的中点，若|AB|＝22，OC的斜率为
2
，求椭圆的方程． 2
22??ax＋by＝1，
解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么A、B的坐标是方程组?的解．
?x＋y－1＝0?222
由ax21＋by1＝1，ax2＋by2＝1，两式相减，得
a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0， 因为所以即
y1－y2
＝－1， x1－x2
y1＋y2a
＝， x1＋x2b
2yCayCa2
＝b，x＝b＝，所以b＝2a.① 2xC2C
再由方程组消去y得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0， 由|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝2(x1－x2)2
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taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区 ＝2[(x1＋x2)2－4x1x2]＝22， 得(x－4x2bb－11＋x2)21x2＝4，即(a＋b)2
－4·a＋b＝4.②
由①②解得a＝12
3，b＝3，
x22y2
故所求的椭圆的方程为3＋3＝1.
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