《2.1.1 椭圆及其标准方程》教案及课堂实录
保俶塔实验学校 张小妹
一、 教学目标
1．知识目标：理解椭圆的定义；明确焦点、焦距的概念；了解用椭圆定义推导椭圆的标准方程；
2．能力目标：学生感知数学知识与实际生活的普遍联系，培养学生数形结合的数学思想方法，提高学生的学习能力；
3．情感目标：培养学生不怕困难、勇于探索的优良作风，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度。 二、 重点、难点及关键
重点：椭圆的定义和标准方程的应用； 难点：椭圆标准方程的推导； 三、 教学方法
启发、探索 四、 教学媒体
运用多媒体教学 五、 教学过程
1．创设情境，引入概念。
首先用几何画板展示地球绕太阳公转的轨迹，形象地给出椭圆，然后请同 学们列举一些实际生活中的椭圆形的例子。以生活中的椭圆引入。
此时教师指出：椭圆在实际生活中是很常见的，学习椭圆的有关知识也是十分必要的。那么如何统一地研究生活中出现的各种各样的椭圆呢？这就是我们今天要探究的----椭圆及其标准方程。
设计意图：本环节由实际例子引入概念，使学生易于接受，同时激发出学生的求知欲，提高学习椭圆的兴趣，也使他们的注意力集中到课堂上。 课堂实录：
师：在上课之前呢，我们先来看一下太阳公转的轨迹 (几何画板展示) 。
思考太阳公转的轨迹是什么？ 生：椭圆。
师：是的。其实生活中椭圆形状的东西也很多，如我们的操场，我们吃的西瓜、
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鸡蛋等。今天我们就来研究下椭圆及其标准方程。 2．尝试探究，形成概念——动手作图。 工 具：纸板、细绳、图钉
作 法：用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点上，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，观察画出的是什么样的一条曲线。 完成表格：
图钉间的距离与绳子长度的关系 图钉间的距离 > 绳子长度 图钉间的距离 = 绳子长度 图钉间的距离 < 绳子长度 图钉间的距离 = 0 记图钉间的距离长为2c，绳子长度为2a，则： 2c与2a的关系 2c > 2a 2c = 2a 2c < 2a 2c = 0 在几何画板中再现形成椭圆的情景。 提出问题：M点在动的时候，有没有发现什么是不变的？
1． F1、F2——定点。 2．∣MF1∣+∣MF2∣=2a。
给出椭圆的定义：平面内与两个定点F1、F2的距离之和是常数（大于∣F1F2∣）的点的轨迹。两个定点F1、F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设M为椭圆上的任意一点，则∣MF1∣+∣MF2∣=2a。 注：2a>2c。 设计意图：(1).通过画图给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；
调动学生学习的积极性。
(2).多媒体演示向学生说明椭圆的具体画法，更直观形象。
课堂实录：
师：下面请同学们拿出学案和事前准备好的纸板、细绳和图钉，动手来作作图。用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图钉固定在两个定点上，然后用笔
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轨迹 无轨迹 线段 椭圆 圆 轨迹 无轨迹 线段 椭圆 圆 尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，观察画出的是什么样的一条曲线，完成学案上的表格。
生：动手作图，分组讨论完成表格。
师：我们一起来看看大家得到的结果正确与否（展示几何画板）：
1．当图钉间的距离 > 绳子长度时，无轨迹。 2. 当图钉间的距离 = 绳子长度时，为线段。 3．当图钉间的距离 < 绳子长度时，为椭圆。 4．当图钉间的距离 = 0时，为圆。
如果我们记图钉间的距离长为2c，绳子长度为2a，则可表示为：
1．当2c > 2a时，无轨迹。 2. 当2c = 2a时，为线段。 3．当2c < 2a时，为椭圆。 4．当2c = 2a时，为圆。 师：下面请同学们再思考以下问题：
M点在动的时候，有没有发现什么是不变的？ 生：两个图钉，即几何画板中的点F1,F2。
生：绳子的长度也是不变的，即几何画板中的∣MF1∣+∣MF2∣=2a。 师：很好，其实椭圆的定义就是：平面内与两个定点F1,F2的距离之和是常数（大于|F1F2|）的点的轨迹。两个定点F1,F2称为焦点，两焦点之间的距离称为焦距，记为2c。若设M为椭圆上的任意一点，则∣MF1∣+∣MF2∣=2a。 注意：2a>2c。 3．标准方程的推导
标准方程的推导是本节课的难点，在推导时应抓住 “建立坐标系”和“简化方程”这两个环节。 ① 建系：教师结合建立坐标系的一般原则 ---使点的坐标、几何量的表达式简单化， 并从“对称美”、“简洁美”的角度出发作一 定的点拨，最后让学生选择合理的坐标系。
② 设曲线上的动点：设点M（x,y）是椭圆上任意一点，且椭圆的焦点坐标为 F1（-c,0）、F2（c,0）。
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y P M F1 O F2 x ③ 找几何关系：依据椭圆的定义，找到几何关系∣MF1∣+∣MF2∣=2a。 ④ 列方程：依据椭圆的定义式∣MF1∣+∣MF2∣=2a列方程，并将其坐标化为
?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a。
⑤ 化简：通过移项、两次平方后得到：a2?c2x2?a2y2?a2a2?c2，两边
x2y2?1，为使方程简单、对称、和谐，引入同除以a(a?c)得到：2?2aa?c2222????x2y2字母b，令b?a?c，可得椭圆标准方程为 2?2?1（a>b>0）。 且b?|PO|，
ab222此时，思考a,b,c三条边的关系：?PF1O中的三条边的长度，c2?a2?b2。
x2y2给出标准方程：2?2?1（a>b>0）叫做椭圆的标准方程，焦点在x轴上。
ab焦点坐标：F（）,F2(c,0) 1?c,0观察标准方程的特征：方程右边是1，左边是两个平方和。
猜想：将椭圆的x、y轴互换，猜想焦点在y轴上的椭圆的标准方程。在学生得出椭圆的两种形式的标准方程后，请学生思考：两者有什么区别？ 设计意图：学生自己去猜想椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间和空间，变“被动”为“主动”，变“灌输”为“发现”。教师结合猜想加以引导。 通过分析可得：a在哪个分母下，焦点就在哪根轴上。
师：现在我们知道了椭圆的定义，那现在我们来研究下椭圆的标准方程。首先我们建立一个平面直角坐标系。 4．应用概念
例1．判断焦点位置，并求出a,b,c，写出焦点坐标。
x2y2x2y2??1 （2）??1 （3）2x2?y2?2 （1）
169916思考：如何确定焦点位置？
1.化方程为椭圆的标准方程；
2.比较分母的大小，哪个分母大，焦点就落在哪条轴上。
例2．已知椭圆两个焦点的坐标分别是(-2，0),(2，0)。
(1).若已知椭圆上任一点到两焦点的距离之和为210，求它的标准方程。
?35?(2).若椭圆经过点??,?，求它的标准方程。
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练习1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程。
(1).a?4,b?1,焦点在x轴上
(2).a?4,c?15,焦点在y轴上
(3).a?b?10,c?25
x2y2??1上一点P到焦点F1的距离等于6，求点P到另一焦练习2：椭圆
10036点F2的距离。
设计意图：(1).掌握椭圆方程中a,b,c三者之间的关系。
(2).掌握运用椭圆定义法、待定系数法求椭圆的标准方程。 (3).进一步巩固知识，培养学生运用知识解决问题的能力。
5．课堂小结
定义式 图像 焦点在x轴上 焦点在y轴上 方程 焦点 焦距 a,b,c间的关系 实际应用：椭圆在天文学、建筑学上有广泛的应用。在天文学上可以精确计算彗星出现的准确时间；在建筑学上可以建造稳固的椭圆形隧道拱。同时椭圆具有美化效果，给人以美的感受。
设计意图：本环节是对所学内容作全面的小结，除了小结知识技能、数学方法以外，还对椭圆的实际应用进行概括，使学生既学了知识，又培养了能力，同时也对椭圆有一个更全面深刻的认识，为下节课的学习打下了基础。 ６．知识拓展。
椭圆的九种画法。
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