使用X-FEM方法建立间断化扩展特性
概述
建立离散化扩展特性，如裂纹： ? ? ? ? ?
通常被称为扩展有限元方法（XFEM）； 基于单元划分的传统有限元方法扩展；
采用特殊的位移函数，通过扩展自由度允许间断特性的存在； 不需要重新划分网格用于适应几何间断特性；
是一种非常有效和有吸引力的方法，用于模拟任意性、求解相关路径裂纹的裂纹初始及裂纹扩展过程，而不用要求重新划分网格； ?
可以同时与基于面的粘性行方法（surface-based cohesive behavior）和虚拟裂纹闭合法同时使用（VCCT）； ? ? ? ?
可以用于计算任意稳定表面裂纹的路径积分，而不需要在裂纹尖端周围重新剖分网格； 允许基于小滑动形式（small-sliding formulation）的裂纹单元之间的接触作用； 允许几何非线性和材料非线性的存在； 当前只对一阶应力/位移固体连续单元有效。
建模方法
使用传统有限元方法建立固定不连续性质，如裂纹，要求网格划分符合几何不连续。因此，很多的网格重构需要建立用以更好地模拟裂纹尖端附近奇异渐进场。建立扩展裂纹模型更加复杂，这是由于网格需要连续不断地更新以适应裂纹扩展过程中几何不连续性。
扩展有限元方法（XFEM）可以缓解裂纹面网格划分带来的缺点。扩展有限元方法由Belytschko and Black（1999）首次提出。该方法基于整体划分（partition of unity）的概念(Melenk and Babuska 1996)，属于传统有限元方法的扩展。该整体划分概念使扩展函数（enrichment functions）方便地插入到有限元近似当中。间断性可以通过与额外自由度相关联的扩展函数（enriched functions）来确定。然而，扩展有限元方法保留了有限元框架及一些特性，如刚度矩阵的稀疏性及对称性等。
节点扩展函数简介（Introducing nodal enrichment functions）
为了实现断裂分析，扩展函数通常包括裂纹尖端附近渐进函数（near-tip asymptotic functions）-用于模拟裂纹尖端附近的应力奇异性，及间断函数（discontinuous functions）-用于表示裂纹面处位移跳跃。使用整体划分特性的位移向量函数u表示为
其中
为常用的节点位移形函数；上述公式中等号右边第一项
，
代表有限元位为沿裂纹面的间断
移求解对应的连续部分；第二项为节点扩展自由度向量跳跃函数；第三项为节点扩展自由度向量
，
为裂纹尖端应力渐进函数。右
端第一项可用于模型中所有节点；右端第二项只对形函数被裂纹内部切开的单元节点有效；右端第三项只对形函数被裂纹尖端切开的单元节点有效。
图1
图1描述了沿裂纹面的间断跳跃函数
，由以下给出
其中量。
为样本点（Gauss point），
为位于裂纹上聚
最近点，
为单位外法线向
图1描述了各项同性材料的裂纹尖端渐进函数，，记为
其中
为极坐标系，裂纹尖端切线方向对应
。
上述函数遍及静态弹性的裂纹尖端渐进函数，考虑了沿裂纹表面的间断
性。裂纹尖端的渐进函数并不局限于各项同性弹性材料的裂纹建模。相同的方法亦可以用于
双材料交界面处裂纹建模，双材料界面冲击作用（impinged on the biomaterial interface），可用于弹-塑性指数硬化材料。然而，对于3种中的每一种情况，不同的裂纹尖端渐进函数的形式与裂纹位置、非线性材料变形程度有关。不同的裂纹尖端渐进函数形式分别在Sukumar (2004), Sukumar and Prevost (2003), Elguedj (2006)讨论。
对裂纹尖端奇异性精确建模需要随时追踪裂纹扩展的具体位置，上述过程非常繁琐，这是由于裂纹奇异程度依赖于裂纹在非各项同性材料中的具体位置。因此，在Abaqus/Standard中只有在建立固定裂纹模型时使用奇异渐进函数。对于移动裂纹问题，将使用其它两种方法进行求解。
使用粘性片段方法及虚拟节点方法进行移动裂纹建模（Modeling moving cracks with the cohesive segments method and phantom nodes）
在XFEM方法的框架中，其中一种方法基于牵引-分离的粘性行为（traction-separation cohesive behavior）。该方法在Abaqus/Standard中用于模拟裂纹的初始化及扩展过程。这是一种非常通用的建模方法，可以用于计算脆性或韧性断裂问题。另外一种模拟裂纹的初始化及扩展过程的方法为粘性单元（cohesive element）或基于面的粘性行为方法。上述方法要求粘性面与单元边界重合，且裂纹沿着先前确定好的路径方向扩展，与上述方法不同的是，基于XFEM的粘性片段方法（cohesive segments method）可以用于模拟体材料（bulk material）中任意路径相关的裂纹初始化及扩展过程，这是因为裂纹扩展并不绑定于单元边界。在这种情况下，裂纹尖端的渐进奇异性不需要体现，而只需要考虑断裂单元中的位移跳跃。因此，裂纹每一次扩展需要通过一个完整单元，从而避免建模对于应力奇异的需要。
XFEM-based cohesive segments method can be used to simulate crack initiation and propagation along an arbitrary, solution-dependent path in the bulk materials, since the crack propagation is not tied to the element boundaries in a mesh. In this case the near-tip asymptotic singularity is not needed, and only the displacement jump across a cracked element is considered. Therefore, the crack has to propagate across an entire element at a time to avoid the need to model the stress singularity.
图2
虚拟节点-叠加于初始真实节点上-用于表示断裂单元的间断性，如图2所示。当单元保持完整时，每一个虚拟节点被约束于相应的真实节点上。当单元被裂纹切开时，断裂单元被分成两部分。每一部分均由部分真实节点和虚拟节点组成（与裂纹方向有关）。每一个虚拟节点不再绑定与与其对应的真实节点上，并可以独立移动。
分离大小由粘性定律决定（cohesive law），当断裂单元的粘性强度变为零后，虚拟节点和真实节点可以自由移动。为了使插值基完整，断裂单元中属于真实区域区域
。真实区域中
的位移可以采用虚拟区域
扩展至虚拟
中节点的自由度插值得到。间
和
。这种方法
断位移场可以通过以下方法实现：从真实节点向裂纹处积分，如
提供了一种有效地、吸引人地工程方法，可以用于模拟固体中多裂纹的初始化及扩展过程（Song 2006 ，Remmers 2008）。该方法已被证明当网格足够密，将不会有网格划分依赖性。 基于线弹性断裂力学准则和虚拟节点的移动裂纹建模（Modeling moving cracks based on the principles of linear elastic fracture mechanics and phantom nodes）
另一种可选的基于XFEM框架的移动裂纹建模方法基于线弹性断裂力学准则（LEFM）。因此，因此该方法更适用于脆性材料的裂纹扩展问题。与基于XFEM的粘性片段方法（XFEM-based cohesive segments method）相似的是，裂纹尖端附近渐进奇异（near-tip asymptotic singularity）不需要考虑，而只需要考虑裂纹单元的位移跳跃问题。因此，裂纹每一次扩展需要通过一个完整单元，从而避免建模对于应力奇异的需要。裂纹尖端处的应变能释放率采用VCCT方法计算（VCCT方法通常用于沿已知或部分已知连接边界的脱层模拟）。然而，与VCCT不同的是，基于XFEM的线弹性断裂力学方法可以用于模拟体材料（bulk material）中任意路径相关的裂纹初始化及扩展过程，这是因为裂纹扩展并不绑定于单元边界。
该建模方法与基于XFEM的粘性片段方法非常相似，均使用虚拟节点用于表示当满足
断裂准则时，断裂单元的间断性。当等效应变能释放率超过临界应变能释放率后，真实节点与相应的虚拟节点分离。断裂单元的两个表面通过分别施加大小相等、方向相反的力用于实现牵引作用。牵引作用将会随着时间逐渐衰减，用于降低发散和网格扭曲的可能性。 使用水平集方法描述几何间断性
使用扩展有限元分析中，简化裂纹追踪的关键是对于裂纹的几何描述，这是由于网格划分并不需要符合裂纹的几何性质。水平集方法，作为一种强大的数值技术可以用于分析和计算界面运动，这正符合了扩展有限元方法的要求，对于任意方向的裂纹增长不需要网格重划。裂纹的几何性质可通过两正交的带符号位移函数定义，如图3所示。首先，纹面；其次正法线方向；
为与上述裂纹面相垂直的面，两面相交处即为裂纹前沿。
用于描述裂表示裂纹面
裂纹前沿的正法线方向。不需要交界面或边界的显示表示，这是由于
上述几何量可完全由节点数据描述。每个节点的两有符号距离函数可以用于描述裂纹的几何性质。
图3