青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
- 1 -
共138页 电磁场与电磁波（第四版）课后答案
第一章习题解答
1.1 给定三个矢量A、B和C如下： A?ex?ey2?ez3
B??ey4?ez C?ex5?ez2
求：（1）aA；（2）A?B；（3）AB；（4）?AB；（5）A在B上的分量；（6）A?C；
（7）A(B?C)和(A?B)C；（8）(A?B)?C和A?(B?C)。
ex?ey2?ez3A123 ??ex?ey?ez解 （1）aA?222A1414141?2?(?3)（2）A?B?(ex?ey2?ez3)?(?ey4?ez)?ex?ey6?ez4?53 （3）AB?(ex?ey2?ez3)(?ey4?ez)?－11 （
4
）
由
c?oAB?sAB?11?AB1?4?1?711，得
238?AB?co?s1(?11)?135.5 238（5）A在B上的分量 AB?Aco?sAB?exeyezAB11 ??B17（6）A?C?152?3??ex4?ey13?ez10 0?2exeyez（7）由于B?C?0?41?ex8?ey5?ez20
50?2exeyezA?B?12?3??ex10?ey1?ez4
0?41所以 A(B?C)?(ex?ey2?ez3)(ex8?ey5?ez20?)? 4 (A?B)C?(?ex10?ey1?ez4() 2ex5?ez2?)?4exeyez（8）(A?B)?C??10?1?4?ex2?ey40?ez5
50?2青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
- 2 -
exey5ez20A?(B?C)?182?3?ex55?ey44?ez11
1.2 三角形的三个顶点为P、P2(4,1,?3)和P。 1(0,1,?2)3(6,2,5) （1）判断?PP是否为一直角三角形； 12P3 （2）求三角形的面积。
解 （1）三个顶点P、P2(4,1,?3)和P的位置矢量分别为 1(0,1,?2)3(6,2,5) r1?ey?ez2，r2?ex4?ey?ez3，r3?ex6?ey2?ez5 则 R12?r2， R23?r3， ?r??r?2ex2?ey?ez81ex4?ezR31?r1?r3??ex6?ey?ez7
由此可见
R12R23?(ex4?ez)(ex2?ey?ez8)?0 故?PP为一直角三角形。 12P31 （2）三角形的面积 S?1R12?R23?1R12?R23?17?69222 1.3 求P?(?3,1,4)点到P(2,?2,3)点的距离矢量R及R的方向。
解 rP???ex3?ey?ez4，rP?ex2?ey2?ez3， 则 RP?P?rP?rP??ex5?ey3?ez
?17 .13且RP?P与x、y、z轴的夹角分别为
exRP?P5)?cos?1()?32.31 RP?P35eyRP?P?3?1?y?cos()?cos?1()?120.47
RP?P35eR1?z?cos?1(zP?P)?cos?1(?)?99.73
RP?P351.4 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B?ex4?ey5?ez6，求它们之间的夹角和A在B上的分量。
?x?cos?1(解 A与B之间的夹角为 ?AB?cos?1(A在B上的分量为 AB?AAB?31)?cos?1()?131 AB29?77B?31???3.532 B771.5 给定两矢量A?ex2?ey3?ez4和B??ex6?ey4?ez，求A?B在C?ex?ey?ez上的分量。
exeyez解 A?B?23?4??ex13?ey22?ez10
?6?41所以A?B在C上的分量为 (A?B)C?(A?B)C25???1?4.4 3C31.6 证明：如果AB?AC和A?B?A?C，则B?C；
青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
- 3 -
解 由A?B?A?C，则有A?(A?B)?A?(A?C)，即
(AB)A?(AA)B?(AC)A?(AA)C
由于AB?AC，于是得到 (AA)B?(AA) C故 B?C
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为一已知矢量，p?AX而P?A?X，p和P已知，试求X。
解 由P?A?X，有
A?P?A?(A?X)?(AX)A?(AA)X?pA?(AA)X
故得 X?pA?A?P
AA1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由(4,2?,3)定出，求该点在：（1）直角坐
3标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。
解 （1）在直角坐标系中 x?4cos?(2?3)?、y2z?3 ?4sin(2?3)?23、故该点的直角坐标为(?2,23,3)。
（2）在球坐标系中 r?42?32?5、??tan?1(43)?53.1、??2?3?120
故该点的球坐标为(5,53.1,120)
1.9 用球坐标表示的场E?er25， 2r（1）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处的E和Ex； （2）求在直角坐标中点(?3,4,?5)处E与矢量B?ex2?ey2?ez构成的夹角。 解 （1）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r2?(?3)2?42?(?5)2?50，故
E?er251 ?2r21?332
Ex?exE?Ecos?rx????25220（2）在直角坐标中点(?3,4,?5)处，r??ex3?ey4?ez5，所以
E?2525r?ex3?ey4?ez5 ?3?2rr102故E与B构成的夹角为 ?EB?cos?1(EB)?cos?1(?19(102))?153.6
EB321.10 球坐标中两个点(r1,?1,?1)和(r2,?2,?2)定出两个位置矢量R1和R2。证明R1和R2间夹角的余弦为
cos??cos?1cos?2?sin?1sin?2cos(?1??2)
解 由 R1?exr1sin?1cos?1?eyr1sin?1sin?1?ezr1cos?1
R2?exr2sin?2cos?2?eyr2sin?2sin?2?ezr2cos?2
得到 cos??R1R2? R1R2青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
- 4 -
sin?1co?1ss?i2n?c??1sin?1sin?2s?i?nsin?12os2sin?1sin?2(cos?1cos?2?1sin?1sin?2)?cos?1cos?2? sin?1sin?2cos(?1??2)?cos?1cos?2
1.11 一球面S的半径为5，球心在原点上，计算： 解 ?(er3sin?)dS?SrS ??coscos ?(e3sin?)dS的值。
?(e3sin?)erSrdS?2??22 d?3sin??5sin?d??75???001.12 在由r?5、z?0和z?4围成的圆柱形区域，对矢量A?err2?ez2z验
证散度定理。
解 在圆柱坐标系中 ?A?1?(rr2)??(2z)?3r?2
r?r?z4所以 ??Ad???dz?02?50?d??(r3?05?22r)rd? 001?2z又
?AdS??SS(err2?ez2z)e(rSd?S?d?ere?42?Sd?z )
??5002?5d?zd????2r4rd??d00 00?12?0?故有 ??Ad??120??AdS
S1.13 求（1）矢量A?exx2?eyx2y2?ez24x2y2z3的散度；（2）求?A对中
心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。
222223?(x)?(xy)?(24xyz)解 （1）?A????2x?2x2y?72x2y2z2 ?x?y?z（2）?A对中心在原点的一个单位立方体的积分为
121212???Ad???12?12?12???(2x?2x2y?72x2y2z2)dxdydz?1 24 （3）A对此立方体表面的积分
?S11AdS???()2dydz???(?)2dydz?
22?12?12?12?121212122122x(?)dxdz? ?2?1212121212121212121 ??2x2()2dxdz??2?12?12?12122213 ??24xy()dx?dy2?12?12?1?2??1122x4y2?(2231)xd?yd
241?AdS ?24S?1.14 计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求?r对球体积的积分。
故有 ??Ad??2??2解 ?rdS??rerdS?SS?d??aa00sin?d??4?a3
青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
- 5 -
又在球坐标系中，?r?12?(r2r)?3，所以
r?r2??a?rd?????3r??0002sin?drd?d??4?a3
1.15 求矢量A?exx?eyx?ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回
路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求??A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。
2解 ?Adl??xdx??xdx??2dy??0dy?8
2C00002222ex又 ??A???xxey??yx2ez??ex2yz?ez2x ?zy2z22所以 ???AdS???(ex2yz?ez2x)ezdxdy?8
S00故有
C?Adl?8????AdS
S1.16 求矢量A?exx?eyxy2沿圆周x2?y2?a2的线积分，再计算??A对此圆面积的积分。
4?a 解 ?Adl??xdx?xydy??(?acos?sin??acos?sin?)d??22?2422CC04?Ax?a4 222??AdS??ez(?)ezdS??ydS???rsin?rd?dr???x?y4SSS001.17 证明：（1）?R?3；（2）??R?0；（3）?(AR)?A。其中R?exx?eyy?ezz，A为一常矢量。
?Aya2?解 （1）?R??x?y?z???3 ?x?y?zexeyez??（2） ??R???0 ?x?y?zxyy（3）设A?exAx?eyAy?ezAz，则AR?Axx?Ayy?Azz，故
??(Axx?Ayy?Azz)?ey(Axx?Ayy?Azz)? ?x?y?ez(Axx?Ayy?Azz)?exAx?eyAy?ezAz?A ?z1.18 一径向矢量场F?erf(r)表示，如果?F?0，那么函数f(r)会有什么特点呢？
?(AR)?ex解 在圆柱坐标系中，由 ?F?1d[rf(r)]?0
rdr可得到
青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net