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q2dq2? 静电能量为 We0?2C02?0S当插入电介质板后，由介质分界面上的边界条件E1t?E2t，有 E1?E2?E
再由高斯定理可得 E??S?E?0(S??S)?q S qq 于是得到极板间的电场为 E???S??0(S??S) d ? ?0 qd U?Ed? 两极板间的电位差位 ?S ?q ??S??0(S??S) 11q2d题3.37图(b)
此时的静电能量为 We?qU?22??S??(S??S) 0??S??0(S??S)C? 其电容为
d(???0)?S 故电容器的电容及能量的改变量分别为 ?C?d(???0)q2d1?We??
2?0S[??S??0(S??S)]3.38 如果不引入电位函数，静电问题也可以通过直接求解法求解E的微分方程而得解决。
??t2?E?1E（）证明：有源区的微分方程为，?t????P；
?0???td?? （2）证明：E的解是 E???4??0?R1解 （1）由??E?0，可得 ??(??E)?0，即?(?E)??2E?0
11?E??(D?P)?(???P) 又
?0?02故得到 ?E??(???P)?0???t?0
2（2）在直角坐标系中?E???t?0的三个分量方程为
?2Ex?其解分别为
1??t1??t1??t22 ，?Ey?，?Ez??0?x?0?y?0?z1??td?? ?4??0?R?x?11??tEy???R?y?d?? 4??0?Ex??1Ez??1??td?? ??4??0?R?z1故 E?exEx?eyEy?ezEz?
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???t??t1??t???t1??[e?e?e]d???Rd?? ?Rx?x?y?y?z?z?4??0?4??0?13.39 证明：???(??tR???t)??t??()???t3? ，所以 RRRRR?t???t???tR?????()d???d??d??4??E?d?? t03????RR???R?R???td????4??0E 由题3.38(2)可知 ??R?t??()d????4??0E?4??0E?0 故 ?R?
解 由于 ??(?t)d???0 R1???t青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net
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第四章习题解答
4.1 如题4.1图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为U0，求槽内的电位函数。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
,?)?a(y,?) ① ?(0y) 0 ② ?(x,0??U③ ?(x,b)0
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
?n?yn?x?(x,y)??Ansinh()sin()aan?1y U0 由条件③，有 b ?n?bn?xU0??Ansinh()sin()
aan?1o a n?xx sin()，并从0到a对x积分，得到 两边同乘以aa题4.1图 a2Un?x0 An?sin()dx? ?asinh(n?ba)0a4U0?,n?1,3,5,2U0(1?cosn?)?? ?n?sinh(n?ba)n?sinh(n?ba)?0，n?2,4,6,?4U01n?y?nx?(x,y)?sinh()sin ()故得到槽内的电位分布 ??n?1,3,5n,sinhn?(ba)aa4.2 两平行无限大导体平面，距离为b，其间有一极薄的导体片由y?d到y?b(???x??)。上板和薄片保持电位U0，下板保持零电位，求板间电位的解。设在薄片平面上，从y?0到y?d，电位线性变化，?(0,y)?U0yd。
解 应用叠加原理，设板间的电位为 y boxyU0 dxy oxy 4.2图 题 x
?(x,y)??1(x,y)??2(x,y)
其中，?1(x,y)为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为U0）的电位，即
?1(x,y)?U0yb；?2(x,y)是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：
① ?2(x,0)??2(x,b)?0
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?0(x?? )② ?2(x,y)U0?U?y??0b③ ?2(0,y)??(0,y)??1(0,y)???U0y?U0y?b?d?(0?y?d)
(d?y?b)?xn?y?nb)e 根据条件①和②，可设?2(x,y)的通解为 ?2(x,y)??Ansin(bn?1U0?U?y(0?y?d)?n?y??0b)?? 由条件③有 ?Ansin(UUbn?1?0y?0y(d?y?b)?b?dn?y)，并从0到b对y积分，得到 两边同乘以sin(bdb2U02U011yn?yn?y2U0bn?dAn?(1?)sin()dy?(?)ysin()dy?sin() ?2b?bbbdbb(n?)db0d?xU02bU0?1n?dn?y?nb?y?sin()sin()e 故得到 ?(x,y)2?2bd?n?1nbb4.3 求在上题的解中，除开U0yb一项外，其他所有项对电场总储能的贡
2We献。并按Cf?2定出边缘电容。
U0解 在导体板（y?0）上，相应于?2(x,y)的电荷面密度
?x2?0U0?1??2n?d?nb?2???0???sin(b)e
?yy?0?dn?1n则导体板上（沿z方向单位长）相应的总电荷
?????x2?0U0n?d?nb4?0U0b?1n?dq2???2dx?2??2dx??2??sin()edx??2?2sin()
n?db?dnbn?1??00n?12?2?0bU011n?dsin() 相应的电场储能为 We?q2U0???222?dn?1nb2We4?0b?1n?d其边缘电容为 Cf?2?2?2sin()
U0?dn?1nb4.4 如题4.4图所示的导体槽，底面保持电位U0，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解 根据题意，电位?(x,y)满足的边界条件为
,?)?a(y,?) ① ?(0y?(x,y)?0(y??) ② y ?(x,0?)U0 ③
根据条件①和②，电位?(x,y)的通解应取为
o U0
青辣椒考研试卷网——考研专业课特工！www.qinglajiao.net 题4.4图 a a x
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??(x,y)??Ane?n?yasin(n?1?n?x) an?x )由条件③，有 U0??Ansin(an?1n?x)，并从0到a对x积分，得到 两边同乘以sin(a?4U0a,n?1,3,5,2U0n?x2U0?An?sin()dx?(1?cosn?)? n??a?an?0??0，n?2,4,6,4U01?n?yan?x?(x,y)?sin( ) 故得到槽内的电位分布为?e?n?1,3,5n,a4.5 一长、宽、高分别为a、b、c的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为
?x?z??y(y?b)sin()sin()
ac的电荷。求体积内的电位?。
解 在体积内，电位?满足泊松方程
?2??2??2?1?x?z????y(y?b)sin()sin() 222?x?y?z?0ac（1）
长方体表面S上，电位?满足边界条件?S?0。由此设电位?的通解为
?(x,y,z)?1?0???Amnpsin(m?1n?1p?1???m?xn?yp?z)sin()sin() abc代入泊松方程（1），可得
???m?2n?2p?2A[()?()?()]? ???mnpabcm?1n?1p?1m?xn?yp?z?x?zsin()sin()sin()?y(y?b)sin()sin()
abcac由此可得
Amnp?0 (m?1或p?1)
??2n?2?2n?yA[()?()?()]sin()?y(y?b) ?1n1abcbp?1（2）
由式（2），可得
?2n?2?22bn?y4bA1n1[()?()?()]??y(y?b)sin()dy?()3(cosn??1)?
abcb0bbn??8b2??3?(n?)?0?n?1,3,5,n?2,4,6,
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