28.2．1解直角三角形及其应用
课型：新授课 教学目标
1.结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的方法． 2．了解解直角三角形的意义和条件；
3．能根据已知的两个条件（至少有一个是边），解直角三角形． 教学重点、难点：
解直角三角形的依据和方法． 教学过程
实例引入，初步体验
问题1 设塔顶中心点为 B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点 B 向垂直中心线引垂线，垂足为点 C（如图）．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=5.2 m， AB= 54.5 m，求∠A 的度数． 概念
一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． （1）三边之间的关系
a2+b2=c2（勾股定理） ； （2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°； （3）边角之间的关系
aba sin A=c ， cos A=c ， tan A=b babsin B=c ， cos B=c ， tan B= a．
问题3 从问题1 的解答过程看，在直角三角形中，知道斜边和一条直角边，可以求其余的三个元素．那么，“知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边） ，可以求其余元素”，还有哪几种情况呢？ 例题示范，方法探究
例1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2 ，BC=6，解这个直角三角形． 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）． 应用迁移，巩固提高
练习：编写一道解直角三角形的题并解答．
归纳：在直角三角形中，知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），我们就可以解
这个直角三角形． 一般有两种情况： （1）已知两条边；
（2）已知一条边和一个锐角． 归纳交流，总结反思
1．什么叫解直角三角形？ 直角三角形中，除直角外，五个元素之间有怎样的关系？ 2．两个直角三角形全等要具备什么条件？为什么在直角三角形中，已知一条边和一个锐角，或两边，就能解这个直角三角形？ 3．你能根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法吗？ 课后作业
教科书第 74 页练习；
教科书习题 28.2 第 1 题． 教学反思
28.2．2 解直角三角形及其应用
课型：习题课 教学目标
1.利用解直角三角形进行几何图形的简单计算． 2. 熟练掌握解直角三角形的方法；
3. 能灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的 图形计算问题． 教学重难点
灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题． 知识梳理
问题1 什么叫解直角三角形？为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角，或已知两边，能够解这个直角三角形？
问题2 根据不同的已知条件，归纳相应的解直角三角形的方法，完成下表填空.
斜边 c 和 一条边锐角∠A 和一个 直角边 a 锐角 和锐角∠A 两条直角边 a 和 b 两条边 直角边 a 和斜边 c ∠B= ，a= ， b=______ ∠B=______，b=______， c=______ c=______，由______ 求∠A=______，∠B=______ b=______，由______ 求∠A=_____，∠B=______ 典型例题
例1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （1）a=
3 ，c= 6 ；
（2）∠B=60°，b=4；
（3）∠A=60°，△ABC 的面积 S= 123 ．
例2 在△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与 BC 相交于点 D，且 AB=4，求 AD 的长．
例3 在△ABC 中，∠B=30°，∠C=45°，AC=4，求 AB 和 BC． 布置作业
1．已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若∠B=30°，CD=6，求 AB 的长．
2．AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求 AD，CD 的长． 教学反思
28.2．3 解直角三角形及其应用
教学目标
1.能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形．
2.使学生把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决，进一步提高数学建模能力
3.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． 教学重点
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识解决实际问题． 教学过程
复习引入，知识储备
问题1 如图，PA 切⊙O 于点 A，PO 交⊙O 于点 B，⊙O 的半径为 1 cm，PB=1.2 cm，则∠AOB= ， 弧AB= ．
问题2 平时观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？ 三种：重叠、向上和向下． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角． A
应用知识，解决问题
问题3 2012 年 6 月 18 日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形
轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远
的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少（地球半径约为 6 400 km，π 取 3.142，
结果取整数）？
铅垂线 视点 视线P B O 仰俯
水平线 视线
从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？
从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．
在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．
如图，用⊙O 表示地球，点 F 是组合体的位置，FQ是⊙O 的切线，切点 Q 是从组合体观测地球时的最远点．
问题中求最远点与 P 点的距离实际上是要求什么？需先求哪个量？怎样求？
弧PQ的长就是地面上 P、Q 两点间的距离，为计算 弧PQ 的长需先求出∠POQ（即α）．
应用知识，解决问题
问题4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°，看这栋楼底部的俯角为 60°，热气球与楼的水平距离为 120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？ （1）从热气球看一栋楼顶部的仰角为 30°→α=30° （2）从热气球看一栋楼底部的俯角为 60°→β=60°
（3）热气球与高楼的水平距离为120 m→AD=120 m，AD⊥BC． （4）这个问题可归纳为什么问题解决？怎样解决？
在直角三角形中，已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边，可以利用解直角三角形的知
识求这个锐角所对的直角边，再利用两线段之和求解．
归纳总结
应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件，适当选用锐角三角函数解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案．
如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量． 布置作业
教科书习题 28.2 第 2，3，4 题 教学反思
28.2．4 解直角三角形及其应用
教学目标
1.“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题理解解直角三角形的理论在实际中的应用，进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具。 2．了解方位角、坡角、坡度；
3．会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题； 4．体会数形结合和数学模型思想． 教学重点：
把实际问题转化为解直角三角形的问题． 教学过程 问题1
一艘轮船在大海上航行，当航行到 A 处时，观测到小岛 B 的方向是北偏西 35°，那么同时从 B 处观测到轮船在什么方向？若轮船从 A 处继续往正西方向航行到 C处，此时， C 处位于小岛 B 的南偏西 40°方向，你能确定 C 的位置吗？试画图说明． 从 B 处观测到 A 处的轮船是________ 方向． 问题2 一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65°方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34°方向上的 B 处，这时， B 处距距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？ 探究 （1）根据题意，你能画出示意图吗？
（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和 角？求什么？怎样求？
（3）你能写出解题过程吗（要求过程完整规范）？
（4）想一想，求解本题的关键是什么？
B 40° C 35° A
问题3
海中有一个小岛 A，它周围 8 n mile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B 点测得小岛 A 在北偏东60°方向上，航行 12 n mile到达 D 点，这时测得小岛 A 在北偏东
30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 思考
1．渔船由 B 向东航行，到什么位置离海岛 A 最近？ 2．最近的距离怎样求？
3．如何判断渔船有没有触礁？