运筹学(第3版) 习题答案 31
0 0 X4 X5 C(j)-Z(j) －1 [－2] 3 0 1 0 0 1 0 －2 －2 4 [－1] 1 1 1 0 0 －3 －1 6 －5/2 1/2 9/2 5/2 －2 2 1 0 0 1 0 0 －1 1 1 0 1 0 －1/2 －1/2 3/2 1/2 －1 1 －10 －12 0 －4 6 －18 4 2 －22 0 3 X4 X1 C(j)-Z(j) 5 3 X2 X1 C(j)-Z(j) b列全为非负，最优解为x＝(2，4，0)；Z＝22
（2）
minZ?5x1?4x2?x1?x2?6??2x1?x2?2?x?0,x?02?1
【解】将模型化为
minZ?5x1?4x2??x1?x2?x3??6 ??2x1?x2?x4?2?x?0,j?1,2,3,4?j XB X3 X4 Cj－Zj X1 X4 Cj－Zj X1 X2 Cj－Zj 3 4 3 0 CB 0 0 5 X1 [-1] 2 3 1 0 0 1 0 0 4 X2 -1 1 4 1 [-1] 1 0 1 0 0 X3 1 0 0 -1 2 3 1 -2 5 0 X4 0 1 0 0 1 0 1 -1 1 b -6 2 6 -10 -4 10 出基行系数全部非负，最小比值失效，原问题无可行解。
(3)minZ?2x1?4x2?2x1?3x2?24?x?2x?10?12??x1?3x2?18??x1,x2?0
【解】将模型化为
运筹学(第3版) 习题答案 32
minZ?2x1?4x2?2x1?3x2?x3?24??x?2x?x??10 ?124???x1?3x2?x5??18?xj?0,j?1,2,3,4,5? cj XB X3 X4 X5 Cj－Zj X3 X4 X2 Cj－Zj 0 0 4 CB 0 0 0 2 X1 2 -1 -1 2 1 -1/3 1/3 2/3 4 X2 3 -2 [-3] 4 0 0 1 0 0 X3 1 0 0 0 1 0 0 0 0 X4 0 1 0 0 0 1 0 0 0 X5 0 0 1 0 1 －2/3 －1/3 4/3 b 24 -10 -18 6 2 6 最优解X=(0，6)；Z＝24
（4）minZ?2x1?3x2?5x3?6x4?x1?2x2?3x3?x4?2???2x1?x2?x3?3x4??3?x?0,j?1,,4?j
【解】将模型化为
minZ?2x1?3x2?5x3?6x4??x1?2x2?3x3?x4?x5??2 ??2x?x?x?3x?x??3?12346?x?0,j?1,,6?jCj XB X5 X6 Cj－Zj X2 X6 Cj－Zj X2 X3 Cj－Zj X1 X3 2 5 3 5 3 0 CB 0 0 2 X1 -1 -2 2 1/2 -5/2 1/2 [-1] 1 0 1 0 3 X2 [-2] 1 3 1 0 0 1 0 0 -1 [1] 5 X3 -3 -1 5 3/2 [-5/2] 1/2 0 1 0 0 1 6 X4 -4 3 6 2 1 0 13/5 -2/5 1/5 -13/5 11/5 0 X5 1 0 0 -1/2 1/2 3/2 -1/5 -1/5 8/5 1/5 -2/5 0 X6 b -2 -3 1 -4 -7/5 8/5 0 1 0 0 1 0 3/5 -2/5 1/5 -3/5 1/5 7/5 1/5 运筹学(第3版) 习题答案 33
Cj－Zj X1 X2 Cj－Zj 2 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1/5 -2/5 11/5 1/5 8/5 -1/5 -2/5 8/5 1/5 -2/5 1/5 1/5 8/5 1/5 原问题有多重解：X(1)＝(7/5，0，1/5，)；最优解X(2)＝(8/5，1/5，0)；Z＝19/5 如果第一张表X6出基，则有
Cj XB X5 X6 Cj－Zj X5 X1 Cj－Zj X2 X1 Cj－Zj 3 2 0 2 CB 0 0 2 X1 -1 [-2] 2 0 1 0 0 1 0 3 X2 -2 1 3 [-5/2] -1/2 4 1 0 0 5 X3 -3 -1 5 -5/2 1/2 4 1 1 0 6 X4 -4 3 6 -11/2 -3/2 9 11/5 -7/5 1/5 0 X5 1 0 0 1 0 0 -2/5 -1/5 8/5 0 X6 b -2 -3 -1/2 3/2 1/5 8/5 0 1 0 -1/2 -1/2 1 1/5 -2/5 1/5
2．7某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A、B、C，有关资料见表2-23．
表2-23
材 产品 产材料消耗料 品消原材料 耗材料甲 乙 丙 每件产品利润 A 2 1 2 4 B 1 2 2 1 C 1 3 1 3 每月可供原材料（Kg） 200 500 600 （1）怎样安排生产，使利润最大．
（2）若增加1kg原材料甲，总利润增加多少．
（3）设原材料乙的市场价格为1.2元/Kg，若要转卖原材料乙，工厂应至少叫价多少，为什么？
（4）单位产品利润分别在什么范围内变化时，原生产计划不变．
（5）原材料分别单独在什么范围内波动时，仍只生产A和C两种产品．
（6）由于市场的变化，产品B、C的单件利润变为3元和2元，这时应如何调整生产计划． （7）工厂计划生产新产品D，每件产品D消耗原材料甲、乙、丙分别为2kg，2kg及1kg，每件产品D应获利多少时才有利于投产． 【解】（1）设 x1、x2、x3分别为产品A、B、C的月生产量，数学模型为
maxZ?4x1?x2?3x3?2x1?1x2?x3?200?x?2x?3x?500 ?123??2x1?x2?x3?600??x1?0,x2?0,x3?0最优单纯形表：
运筹学(第3版) 习题答案 34
C(j) X1 X3 X6 4 3 0 4 1 0 0 0 1 X2 1/5 3/5 0 -8/5 3 X3 0 1 0 0 0 X4 3/5 -1/5 -1 -9/5 0 X5 -1/5 2/5 0 -2/5 0 X6 0 0 1 0 XB CB X1 R.H.S. 20 160 400 Z=560 Ratio 最优解X=（20，0，160），Z=560。工厂应生产产品A20件，产品C160种，总利润为560元。
（2）由最优表可知，影子价格为y1?C(j)-Z(j) 92,y2?,y3?0,故增加利润1.8元。 55（3）因为y2=0.4，所以叫价应不少于1.6元。
（4）依据最优表计算得
8?3??c1?2,?c2?,?1??c3?95
13c1?[1,6],c2?(??,],c3?[2,12]5（5）依据最优表计算得
100??b1?400,?400??b2?100,?400??b33 500b1?[,600],b2?[100,600],b3?[200,??).3?（6）变化后的检验数为λ2=1,λ4=-2,λ5=0。故x2进基x1出基,得到最最优解X=(0,200,0)，即只生产产品B 200件,总利润为600元。 C(j) XB X1 X3 X6 X2 X3 X6 X2 X4 X6
(7)设产品D的产量为x7, 单件产品利润为c7，只有当?7?c7?CBB?1P7?0时才有利于投产。
CB 4 2 0 2 3 0 2 0 0 4 X1 1 0 0 0 5 -3 0 -5 2 -3 0 -2 3 X2 [1/5] 3/5 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 2 X3 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 -1 0 X4 3/5 -1/5 -1 -2 3 -2 -1 -5 1 -2 -1 -3 0 X5 -1/5 2/5 0 0 -1 [1] 0 1 0 1 0 0 0 X6 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 R.H.S. 20 160 400 560 100 100 400 200 100 400 Ratio 100 800/3 M M 100 M C(j)-Z(j) C(j)-Z(j) C(j)-Z(j) 运筹学(第3版) 习题答案 35
?2?92????22c7?CBB?1P7?YP7??,,0??2??
?55???5?1?则当单位产品D的利润超过4.4元时才有利于投产。
2．8对下列线性规划作参数分析
maxZ?(3?2?)x1?(5??)x2?x1?4?（1）?x2?6??3x1?2x2?18??x1,x2?0
【解】μ＝0时最优解X=(4,3,0)；最优表： C(j) 3 5 0 Basis X1 X2 X5 C(i) 3 5 0 X1 1 0 0 0 3＋2μ X1 1 0 0 X2 0 1 0 0 5－μ X2 0 1 0 X3 1 0 -3 -3 0 X4 0 0.5 -1 -2.5 0 X3 1 0 -3 0 X5 0 0 1 0 0 X4 0 0.5 -1 R. H. S. 4 3 0 27 0 X5 0 0 1 R.H.S. 4 3 0 C(j)-Z(j) 将参数引入到上表： C(j) Basis X1 X2 X5 C(i) 3＋2μ 5－μ 0 C(j)-Z(j) 0 0 0 27 －3－2μ -2.5＋0.5μ 当－3－2μ≤0及-2.5＋0.5μ≤0时最优基不变，有－1.5≤μ≤5。当μ<－1.5时X3进基X1出基；μ>5时X4进基X2出基，用单纯形法计算。参数变化与目标值变化的关系如下表所示。 From To From To Leaving Entering Range 1 2 3 (Vector) 0 5 0 (Vector) OBJ Value OBJ Value 5 M -1.5 27 52 27 19.5 52 M 19.5 M Slope 5 8 5 -3 Variable Variable X2 X1 X4 X3 4 -1.5 -M 目标值变化如下图所示。