考试是一种神圣的行为，我们必须认真对待！
第24章《圆》期末考试复习
一、主要定理和公式
1、圆心角、弧、弦关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也相等。
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等 ；那么其余各组量也相等 。
可以拓展为：在同圆或等圆中，等圆心角?等弧?等圆周角?等弦?等弦心距
⑴∵∠AOB=∠A’OB’ ⑵∵AB?A'B' ⑶∵AB=A’B’ ∴AB?A'B' ∴∠AOB=∠A’OB’ ∴∠AOB=∠A’OB’
AB=A’B’ AB=A’B’ AB?A'B'
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
如果一条直径垂直于一条弦；那么直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
A
⑴∵直径AB⊥CD ⑵∵直径AB平分弦CD ⑶∵直径AB平分CD O ∴CP=DP ∴AB⊥CD ∴AB⊥CD P CDCP=DP，AC?AD BBC?BD，AC?AD BC?BD，AC?AD
3、垂径定理及其推论：以下5项
(1)经过圆心；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分优弧；(5)平分劣弧；由其中两项作为条件都能推出其余三项， 即“二推三”。但由（1）（3）?（2）（4）（5）时，这条弦必须是非直径的弦。
4、半圆或直径所对的圆周角是直角，900的圆周角所对的弦是直径。 如果圆周角所对的弦是直径（或所对的弧是半圆）；那么这个圆周角是直角。
C⑴∵AB是直径 ⑵∵圆周角∠ACB=900
ABO∴∠ACB=900 ∴弦AB是直径
5、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等． 在同圆或等圆中，如果两个圆周角所对的弧是同一条弧；那么这两个圆周角相等。
ACDOB图23.1.4 ∵圆周角∠C和∠D所对的弧都是AB ∴∠C = ∠D
6、在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。或等于这条弧的度数的一半。
1 没有侥幸，只有不懈的努力和坚持努力的信念！
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在同圆或等圆中，如果圆周角和圆心角所对的弧是同一条弧，那么圆周角等于圆心角的一半。
ACOB∵圆周角∠C和圆心角∠AOB所对的弧都是AB ∴∠C =
1∠AOB 27、圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角. 8、点与圆的位置关系
（1）设点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则
COA点在圆外?d?r； 点在圆上?d?r； 点在圆内?d?r． B（2）过不在同一直线上的三点有且只有一个圆. 一个三角形有且只有一个外接圆.
（3）三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
9、直线与圆的位置关系
（1）设圆心到直线l的距离为d，圆的半径为r，则
直线与圆相离?d?r；直线与圆相切?d?r；直线与圆相交?d?r．
（2）切线的性质:
①与圆只有一个公共点；②圆心到切线的距离等于半径；③圆的切线垂直于过切点的半径. （3）切线的识别:
①如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
③经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 10、内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心到三角形三边的距离相等.
A如图1.
A
OOP
BC
B
图1 图2
11、切线长：圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 如图2，PA、PB是O的切线，点A、B是切点，PA、PB就是切线长。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
如图2，PA、PB是O的切线，则PA＝PB，?APO??BPO。 12、圆与圆的位置关系
（1）圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含. （2）设两圆心的距离为d，两圆的半径为r1、r2，则
两圆外离?d?r1?r2； 两圆外切?d?r1?r2； 两圆相交?r1?r2?d?r1?r2 两圆内切?d?r1?r2 ； 两圆内含?d?r1?r2 （3）两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.
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（4）由对称性知:两圆相切，连心线经过切点. 两圆相交，连心线垂直平分公共弦. 13、正多边形和圆
（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。 （2）正n边形的每个内角都等于
(n?2)180?360?360?，每个外角为，每个中心角为。 nnnn?rn?r21?lr 14、与圆有关的计算（1）弧长公式：l? （2）扇形面积公式：S扇形?1803602（其中为n圆心角的度数，r为半径）
15、圆柱和圆锥
（1）圆柱的侧面展开图是矩形．圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体．
（2）圆柱侧面积：S柱侧?2?ra；圆柱全面积：S柱全?2?ra?2?r2
（3）圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体． （4）圆锥侧面积：S锥侧??ra；圆锥全面积：S锥全??ra??r2
二、圆期末复习题
（一）、选择题: 1．下列五个命题:
(1)两个端点能够重合的弧是等弧; （2）圆的任意一条弦必定把圆分成劣弧和优弧两部分 （3）经过平面上任意三点可作一个圆;（4）任意一个圆有且只有一个内接三角形 （5）三角形的外心到各顶点距离相等.其中真命题有（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ）．B A．30° B．40° C．50° D．60°
3．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=（ ）． A．65° B．50° C．130° D．80°
DOACAOEFCDB4．Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）． A．15 B．12 C．13 D．14
5．已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，?那么这两个圆的位置关系是（ ）．
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A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
6．⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与⊙O?相切的圆的半径一定是（ ）．
A．1cm或7cm B．1cm C．7cm D．不确定
7．一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）． A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm （二）、填空题．
1．⊙O中，弦MN把⊙O分成两条弧，它们的度数比为4：5，如果T为MN中点，则∠TMO=_________，则弦MN所对的圆周角为_______．
2．如图，已知A、B、C是⊙O上的三点，若∠ACB=44°，则∠AOB的度数为 3．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm)，则该圆的半径为 cm。
4．如图，矩形ABCD中，BC= 2 , DC = 4．以AB为直径的半圆O与DC相切于点E，则阴影部分的面积为 (结果保留л）
BFCDOEA5．⊙O到直线L的距离为d，⊙O的半径为R，当d，R是方程x2-4x+m=0的根，且L?与⊙O相切时，m的值为_________．
6．如图，△ABC三边与⊙O分别切于D，E，F，已知AB=7cm，AC=5cm，AD=2cm，则BC=________． 7．已知⊙O的直径为 6，P为直线l上一点，OP=3，那么直线l与⊙O的位置关系为______． （三）、解答题．
1．如图，从点P向⊙O引两条切线PA，PB，切点为A，B，AC为弦，BC为⊙O?直径，若∠P=60°，BC=2cm，求AC的长．
AP
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2．如图，已知扇形AOB的半径为12，OA⊥OB，C为OB上一点，以OA为直线的半圆O与以BC为直径的半圆O相切于点D．求图中阴影部分面积．
3．（开放题）如图，C是⊙O的直径AB延长线上一点，过点C作⊙O?的切线CD，D为切点，连结AD，OD，BD．请根据图中给出的已知条件（不再标注字母，不再添加辅助线）写出两个你认为正确的结论．
D
mBC
AO4．如图，已知弦AB与半径相等，连结OB，并延长使BC=OB．问AC与⊙O有什么关系．
O
CBA5．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA交AB于点C，过B的直线交OC的延长线于点E，当CE=BE时，直线BE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由。
A CE O
B
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