福建省厦门六中2018届高三12月月考
数学理试题
考试时间 120 分钟 满分150分
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.
1. .复数2的实部与虚部之和为（ ）
1?i A．?1 B．0 C．1 D．2
2. 若如图的程序框图输出的y?4，可输入的x的值的个数为 （ ）（A）1 4
（B）2 （C）3（D）4
（D）
y=2x-423. 公差不为零的等差数列{an}中，2a3?a7?2a11?0，
数列{bn}是等比数列，且b7?a7,则b6b8?（ ） A.2 B.4 C.8 D.16
4. f(x)?sinx?3cosx(x?R)，函数y?f(x??)的图象关于直线x?0对
称，则?的值可以是( )
????A. B. C. D. 23465.下列结论中正确命题的个数是( )①命题p:“?x?R,x2?2?0”的否定形式为?p: “?x?R,x2?2?0；② 若?p是q的必要条件，则p是?q的充分条件； ③ “M>N”是“()23M2?()N”的充分不必要条件. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 36. 设l,m,n为三条不同的直线，?为一个平面，下列命题中正确的个数是( ) ①若l??，则l与?相交 ②若m??，n??，l?m，l?n，则l?? ③若l||m，m||n，l??，则n?? ④若l||m，m??，n??，则l||n A．1 B．2 C．3 D．4
x2y2x2y27. 若双曲线2?2?1和椭圆2?2?1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的
mbab三角形是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
28. 已知点P是曲线y?x?lnx上的一个动点，则点P到直线l：y?x?2的距离的最小值为（ B ）
A．1 B．2
C．
2 D．3 29. 已知空间直角坐标系中，O为原点，A（0，0，3），B（0，4，0），C（5，0，0）则经过O、A、B、C四点
的球的体积为 （ B ）
A．50?
B．
1252? 3C．
10002? 3D．
25? 410. 若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与（B，A）可看作一个“姊妹点对”). 已知函数
2?x??2xx?0f(x)=?2，则f(x)的“姊妹点对”有（ ）个
x?0??exA．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
11. 抛物线y?ax2的准线方程是y=2，则a的值为_____ 。
?x?3y?3?0y?2?12. 已知x、y满足?x?0,，则z?的取值范围是
x?1?y?0?S13.
?1?1(1?x2?x2)dx? A14. 正四棱锥S?ABCD的5个顶点都在球O的表面上，过球心O的一 个截面如图，棱锥的底面边长为1，则球O的表面积为 2? 15. 在?ABC中，D在BC边上，AD?AB,BC?OC2 BD, AD?1,则AC?AD? ．
三．解答题（本大题共6小题，共80分;解答应写出文字说明与演算步骤
16. （本小题满分13分）已知等差数列{an}前三项的和为?3，前三项的积为8.（Ⅰ）求等差数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和.
17. （本小题满分13分）已知函数f(x)?3sinxcosx?cosx?1,x?R．(Ⅰ) 求函数f(x)的最小值2和最小正周期；（Ⅱ）已知?ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
???且c?3,f(C)?0，若向 量m?(1,sinA)与n?(2,sinB)共线，求a、b的值．
2
18. （本小题满分13分）如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD是正三角形且与底面ABCD垂直，底面ABCD是矩形，E是AB中点，PC与平面ABCD的夹角为30°.（1）求平面PCE与平面CED夹角的大小；（2）当AD为多长时，点D到平面PCE的距离为2.
19. （本小题满分13分）某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2005年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销ｔ万元之间满足3－x与ｔ＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2005年生产化妆品的设备折旧，维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为：其生产成本的150%“与平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的化妆品正好能销完．⑴将2005年的利润y(万元)表示为促销费ｔ(万元)的函数；
⑵该企业2005年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大?
(注：利润＝销售收入—生产成本—促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
20. （本小题满分14分）已知定点F(1,0)，动点P（异于原点）在y轴上运动，连接FP，过点P作PM交
x轴于点M，并延长MP到点N，且PM?PF?0，|PN|?|PM|.
（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，
若OA?OB??4且46?|AB|?430，求直线l的斜率k的取值范围．
21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分 (1) 已知矩阵?A???????????????????????6??33???，向量， ??????24??8?2（Ⅰ）求矩阵A的特征值和对应的特征向量；（Ⅱ）求向量?，使得A???.
（2）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A、B的极
坐标分别为(1,0)、(1,??x?rcos?,)，曲线C的参数方程为?（Ⅰ）求直线AB的直(?为参数，r?0）2?y?rsin?角坐标方程；（Ⅱ）若直线AB和曲线C只有一个交点，
求r的值．
(3) 设不等式|x?2|?1的解集与关于x的不等式x?ax?b?0的解集相同．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数f(x)?ax?3?b5?x的最大值，以及取得最大值时x的值.
2
福建省厦门第六中学2018届高三12月月考数学（理科）试卷解答
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分.
1. .复数2的实部与虚部之和为（ B ）
1?i A．?1 B．0 C．1 D．2
2. 若如图的程序框图输出的y?4，可输入的x的值的个数为 （ D ）（A）1 （B）2 （C）3（D）4 4
23. 公差不为零的等差数列{an}中，2a3?a7?2a11?0， 数列{bn}是等比数列，且b7?a7,则b6b8?（ D ） A.2 B.4 C.8 D.16
4. f(x)?sinx?3cosx(x?R)，函数y?f(x??)的图象关于直线x?0对称，则?的值可以是( D )
A. ? B. ? C. ?
234（D）
y=2x-4 D. ?
6
5.下列结论中正确命题的个数是( C )①命题p:“?x?R,x?2?0”的否定形式为?p: “?x?R,x?2?0；② 若?p是q的必要条件，则p是?q的充分条件； ③ “M>N”是“()2223M2?()N”的充分不必要条件. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 36. 设l,m,n为三条不同的直线，?为一个平面，下列命题中正确的个数是( C ) ①若l??，则l与?相交 ②若m??，n??，l?m，l?n，则l?? ③若l||m，m||n，l??，则n?? ④若l||m，m??，n??，则l||n A．1 B．2 C．3 D．4
x2y2x2y27. 若双曲线2?2?1和椭圆2?2?1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a，b，m为边长的
mbab三角形是( B ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
8. 已知点P是曲线y?x2?lnx上的一个动点，则点P到直线l：y?x?2的距离的最小值为（ B ）
A．1 B．2
C．
2 D．3 29. 已知空间直角坐标系中，O为原点，A（0，0，3），B（0，4，0），C（5，0，0）则经过O、A、B、C四点
的球的体积为 （ B ）
A．50?
B．
1252? 3C．
10002? 3D．
25? 410. 若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f(x)的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对(A，B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A，B)与（B，A）可看作一个“姊妹点对”). 已知函数
2?x??2xx?0f(x)=?2，则f(x)的“姊妹点对”有（ B ）个
x?0??exA．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分）
111. 抛物线y?ax2的准线方程是y=2，则a的值为_____?。
8?x?3y?3?0y?2?12. 已知x、y满足?x?0,则z?的取值范围是
x?1?y?0????,?2???1,???
S13.
?1?1(1?x2?x2)dx??2?2 3A
14. 正四棱锥S?ABCD的5个顶点都在球O的表面上，过球心O的一 个截面如图，棱锥的底面边长为1，则球O的表面积为 2? 15. 在?ABC中，D在BC边上，AD?AB,BC?OC2 BD, AD?1,则AC?AD? 2．
三．解答题（本大题共6小题，共80分;解答应写出文字说明与演算步骤
16. 解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则a2?a1?d，a3?a1?2d，
?3a1?3d??3,?a?2,?a??4,由题意得? ?2分解得?1或?1 ?4分
a(a?d)(a?2d)?8.d??3,d?3.???111所以由等差数列通项公式可得an?2?3(n?1)??3n?5，
或an??4?3(n?1)?3n?7.故an??3n?5，或an?3n?7. ?6分
（Ⅱ）当an??3n?5时，a2，a3，a1分别为?1，?4，2，不成等比数列；?7分
当an?3n?7时，a2，a3，a1分别为?1，2，?4，成等比数列，满足条件. ??3n?7,n?1,2,故|an|?|3n?7|?? ?9分 记数列{|an|}的前n项和为Sn.
3n?7,n?3.?当n?1时，S1?|a1|?4；当n?2时，S2?|a1|?|a2|?5；
当n?3时，Sn?S2?|a3|?|a4|???|an|?5?(3?3?7)?(3?4?7)???(3n?7)