来说明一个变换?。证明，我们可以用
?1?2： a??1[?2(a)]??1?2(a)
来规定一个乘法，这个乘法也适合结合律并且对于这个乘法来说，?还是S的单位元。
解：令?1和?2是S的任意两个元而a是A的任意一个元。那么?2(a)和
?1[?2(a)]都是A的唯一确定的元。因此如上规定?1?2仍是S的一个唯一
确定的元而我们得到了一个S的乘法。
令?3也是一个任意元，那么
(1?2)?3a](?)?1?2?a[3?()]?1a?{3 [()]} [?](?)?1?[2?a3?()]?1?2{a?3 [?1(?2?3)a [()]}所以(?1?2)?3??1(?2?3)而乘法适合结合律。
令?是S的任意元。由于对一切a?A，都有?(a)?a， 所以
??(a)??[?(a)]??(a) ??(a)??[?(a)]??(a) 即???????而?仍是S的单位元。
4. 证明，一个变换群的单位元一定是恒等变换。
解：设G是由某一集合A的变换组成一个变换群，而?是G的单位元。任取G的一个元?和A的一个元a。由于????，有 a???(a?)??a?
由于?是A的一个一一变换，所以a??a而?是A的恒等变换。 5. 证明，实数域上一切有逆的n?n矩阵对于矩阵乘法来说，作成一
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个群.
解：这个题的解法很容易，这里从略。
6. 置换群
?123?1. 找出所有s3不能和??交换的元。 231??解：s3有6个元：
?123??123??123???，??，??， 123132213???????123??123??123?，，??????。 ?231??312??321?其中的
?123??123??123??123? ??，?，???=?231?
??123??231??312??2显然可以和??123??123?交换。通过计算，易见其它三个元不能和 ???交换。?231??231?2. 把s3的所有元写成不相连的循环置换的乘积。 解： ??=（1），?12?123??323?123??1=（1 2），???21?213??3?123???=（1 3 2） ?312??123?13?2??=（2 3） ?23?1?=（1 3），??13?2???=（1 2 3） ?3．证明：
（ⅰ）两个不相连的循环置换可以交换； （ⅱ）
解：（ⅰ）看的两个不相连的循环置换?和τ。我们考察乘积?τ
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使数字1，2，…，n如何变动。有三种情况。
（a） 数字 在?中出现，并且?把变成j。这时由于?和τ不相连，
j不在τ中出现，因而τ使j不变，所以?τ仍把变成j。 （b） 数字k在τ中出现，并且τ把k变成。这时
因而?使k不变，所以?τ仍把变成。 （c） 数字m不在?和τ中出现。这时?τ使m不动。
如上考察τ?使数字1，2，…，n如何变动，显然得到同样的结果。因此?τ=τ?。 （ⅱ）由于4．证明一个解：一个别把变成
循环置换的阶是 。 循环置换π=
。同理
的一次方，二次方，…，次方分把i2变成i2,…,把变成。因此，那么
。这就证明了，
，所以
不在?中出现，
。由上面的分析，若是
π的阶是。
5．证明的每一个元都可以写成
（1 2），（1 3），…，（1 n）
这
个
循环置换中的若干个的乘积。
解：由于每一个置换都可以写成不相连的循环置换的乘积，所以只须证明，一个循环置换可以写成若干个（1 ）形的置换的乘积。设π是一个
循环置换。我们分两个情形加以讨论。
（a） 1在π中出现，这时π可以写成
容易验算
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（b） 1不在π中出现，这时
§7.循环群
1．
证明，一个循环群一定是交换群。
解：设循环群G??a?。那么G的任何两个元都可以写成am和an（m，n是整数）的形式。但 一个交换群。
2.假定群的元a的阶是n。证明的阶是 ，这里d=( r，n )是r和n的最大公因子。
解：由于d｜r ，r=ds ，所以
现在证明， 就是的阶。设的阶为。那么令 得 但
而
是
的阶，所以
而
aamn?am?n?an?m?anam 所以G是
。
于是｜ 。（参看本节定理的第二种情形。） 为了证明
，只须反过来证明｜ 。由
而n是a的阶，
同上有n｜r , 因而｜互素而有
。
。但d是n和r的最大公因子，所以
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3.假定a生成一个阶是n的循环群G。证明：也生成G，假如（r,n）=1 (这就是说r和n互素)。 解：由习题2，的阶是n。所以
互不相同。但G只有n个元，所以 而生成G。
4．假定G是循环群，并且G与同态。证明也是循环群。
，
解：由于G与同态，也是一个群。设G??a?，而在G到的同态满射φ下，
。看
的任意元
。那么在φ下，有 。这样，的每一元都
是的一个乘方而G?(a)。
5．假定G是无限阶的循环群，是任何循环群。证明G与同态。 解：令G??a?，G?(a)。定义 Φ：的一个同态满射。
（ⅰ）由于G是无限阶的循环群，G的任何元都只能以一种方法写成
的形式，所以在φ之下，G的每一个元有一个唯一确定的象，而φ是G到的一个映射。 （ⅱ）的每一个元都可以写成
的形式，因此它在φ之下是G的元
我们证明，φ是G到
的象，而φ是G到的一个满射。 （ⅲ）
所以φ是G到的一个同态满射。
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