第四章 截面的几何性质
内容提要
一、截面的静面矩和形心位置
Ⅰ、图4-1中，任意形状截面的面积为A，截面对y、z坐标轴的静面矩分别为
Sy?OzCyCyCz?AzdA，Sz??AydA (4-1)
zy截面形心C的坐标为
yC?图4?1 ?AydA A?SzA，zC??AzdA A?SyA (4-2)
当截面的形心C的坐标yc、zc已知时，求静面矩的公式为
Sz?yCA ，Sy?zCA (4-3)
Ⅱ、组合截面的静面矩和形心
由几个简单图形(例如矩形、圆形等形心位置已知的图形)组成的组合截面，设各简单图形的面积分别为Ai，其坐标分别为yCi、zCi(i=1.2…n)，则组合截面对y、z轴的静面矩为
nnCiSy??zi?1Ai，Sz??i?1yCiAi，?i?1.2...n? (4-4)
组合截面的形心为
nn?yC?i?1nyCiAi ，zC?i?zi?1ni?1CiAi ，?i?1.2...n? (4-5)
i?A i?1?A ??Ⅲ、静面矩的特征
1. 静面矩和坐标轴的位置有关，其值可为“+”、“—”、“0”，单位为m3。
2. 若Sz?yCA?0，?A?0，?yC?0，因此z轴必通过形心。
zO?即截面对形心轴的静面积等于零。 图4?2y 3. 在图4-2中，C为形心，用平行于z轴的任一横向线将截面截?Oy分为Ⅰ、Ⅱ两部分，必有
Sz?Sz,???Sz,II?0I??Sz,II ，Sz,??IzzydA二、惯性矩、惯性积、惯性半径
Ⅰ、惯性矩
任意形状截面的面积为A(图4-3)，截面对y和z轴的惯性矩分别为
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图4?3A Iy??AzdA，Iz?2??AydA (4-6)
2截面对坐标原点的极惯性矩为
Ip?A?dA (4-7)
2222? ??z?y 即 Ip???zA2?y2?dA?Iy?Iz (4-8)
惯性矩的特征：
1. 惯性矩恒为正值，单位为m4。
2. 截面对坐标原点的极惯性矩，等于截面对通过原点的一对正交坐标轴的惯性矩之和。
3. 熟记以下结果
b
43zhCz3 ?dbhzbhdhIz?Iz?Iz? 6412y36b yy
Ⅱ、惯性积
设任意形状截面的面积为A(图4-3)，则截面对y和z轴的惯性积为
Iyz??AyzdA (4-9)
惯性积的值可为“+”、“—”、“0”，单位为m4。 Ⅲ、惯性半径
设任意形状截面的面积为A，则截面对y和z 轴的惯性半径分别为
iy?IyA，iy?IzA (4-10)
三、惯性矩和惯性积的平行移轴公式
Ⅰ、在图4-4中，任意形状截面的面积为A，形心C在y、z坐
yC和zC轴为形心轴，y//yC、z//zC。标系中的坐标分别为a和b，
OzazC惯性矩和惯性积的平行移轴公式分别为
Iy?IyC?bA，Iz?IzC?aA (4-11)
Iyz?Iyz22bCAyyC?a?bA (4-12) CC图4?4 Ⅱ、应用平行移轴公式时应注意以下几点：
1. 在互相平行的坐标轴中，一定要有一轴或两轴为形心轴，否则上述平行移轴公式不成立。
2. 当已知截面对形心轴的惯性矩Iy和Iz时，用(4-11)求Iy和
CCznz3CIz。当已知Iy和Iz时，则IyC和Iz为
CzCz2第 2 页 共 10 页 yz1图4?5 IyC?Iy?bA，IzC?Iz?aA
22由上式可见，截面对所有互相平行坐标轴的惯性矩中，以截面对形心轴的惯性矩为最小，例如图4-5中，zi轴互相平行，在Izi中?i?1.2...n?，以Iz为最小。
C3. a、b分别为z和zC及y和yC轴之间的距离，也是形心C在y、z坐标系中的坐标，所以a、b之值可为“+”、“—”或“0”。
四、转轴公式
Ⅰ、转轴公式
Iy1Iz1???cos2??Iyzsin2???22? (4-13)
Iy?IzIy?Iz??cos2??Iyzsin2? ??22?Iy?IzIy?Izz1Oz?yy1图4?6 Iy1z1?Iy?Iz2?Iy?Iz2sin2??Iyzcos2? (4-14)
由(4-13)式，得
Iy1?Iz1?Iy?Iz?Ip
(4-15)
Ⅱ、转轴公式的特征
1. ?角以由y和z轴，绕O点逆时针分别转至y1和z1时为正，反之为负。
2. 坐标原点O为截面内任意一点，转轴公式与形心无关。
3. (4-15)式表明，截面对一对正交坐标轴的惯性矩之和为一常量，等于截面对坐标原点的极惯性矩。
五、主惯性轴、主惯性矩
Ⅰ、主惯性轴
图4-7所示为任意形状截面，若截面对y0和z0轴的惯性积Iyy0和z0轴为主惯性轴，当坐标原点为形心时，y0和z00z0z0?0，则
Oz为形心主惯性轴，简
y?0y0称为形心主轴。
图4?7 Ⅱ、确定主惯性轴的方法
1. 当y和z轴之一为截面的对称轴时，则y和z轴为主惯性轴，且当y、z的坐标原点为形心时，y和z轴为形心主轴。在图4-8中，y
z1z1和z1为主惯性轴、y和z轴为形心主惯性轴。 y2. 当截面没有对称轴时，确定主惯性轴y0和
z0轴的公式为
CCzyzCy(a)第 3 页 共 10 页 (b)(c)z2z1图4?8 tan2?0??2IyzIy?Iz (4-16)
式中，Iy、Iz、Iyz分别为截面对参考坐标轴y和z轴的惯性矩和惯性积，?0角为从参考轴y转至y0轴的转角，以逆时针转向为正。当y和z轴的坐标原点为形心时，(4-16)式也为确定形心主轴位置的公式。 Ⅲ、形心主惯性矩
1. 截面对主惯性轴的惯性矩,称为主惯性矩。截面对形心主轴的惯性矩为形心主惯性矩,其值为
IyIz0?Iy?Iz2?0?Iy?Iz?2???Iyz (4-17)
2??22 . 形心主惯性矩的特征
(1)Iy和Iz为极值惯性矩，又因为Iy?Iz?Ip(常量)，所以Iy和Iz分别为截面对过形
000000心的所有坐标轴的惯性矩的最大值或最小值。
(a)由(4-17)式可见，Iy?Imax，Iz?Imin。该结论和(4-16)式右端的“-”号放在分子上
00相对应。
(b)若截面的面积分布距某一形心主轴近时，截面对该形心主轴的惯性矩为Imin，对另一与该轴正交的形心主轴的惯性矩为Imax。例图4-9中各截面均为Iy?Imin。
zCzCCzIyz?0y(a)(b)图4?9y(c)y (2)任意正多边形截面通过形心的轴均为形心主轴，且形心主惯性矩均相等。(见教材附录例Ⅰ-11)。例如图4-10(a)所示边长为a的正方
a形，Iy?Iz?Iy?1a412；图4-10(b)所示的等边长为
a3a964zCz1C60?a的等边三角形。Iy?Iz?Iz?1。
?y160?(3)截面对一对形心主轴的惯性矩相等，则通过形心的轴均为形心主轴，且形心主惯性矩均相等。(见例4-6)。
y(a)yaz(b) 图4?10yC例4-1 在边长为a的正方形中，挖去半径为a的14圆，如图中阴影线部分所示，求截面对其水平形心轴x1的惯性矩。 解：取参考坐标xy如图所示。14圆的形心到x轴的距离为组合截面的形心C的y坐标为
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x14a3?yCaxO，a例4?1图
?a?2?4a??12???a??????a?2?2??3???4?yC??a13?4???22a??a4
由平行移轴公式，得
14?4?a?21??2a?Ix????a???a?a
12?2?464316a424再次利用平行移轴公式，得
Ix1??2?2?14?4?22?34?Ix?ycA?a?a????a?a??7.60?10a3164??3?4?????2
例4-2 试求图示截面的形心位置及对形心轴y和Iz的惯性矩。
12a4a3?a3解：1. 求形心位置
取参考坐标轴y、z如图a所示，
zC?0，把截面分成正方形I1、半圆形Ⅱ
yCC2??o?C1Ca2aC3zyzC???y1和三角形Ⅲ三个部分。
其中AI?4a，
2z14a(b)C2C2ayCI?a；
4a3?3C3???2a3?zC2AII??a22，yC??II；
yyC(a)例4?2图(c)zC AIII?2a2yCIII?83a。
228?4a??a2a?4a????a?2a?3?3??2yC??1.145a2?a224a??2a2
2. 求Iy
其中三角形(图b)对y轴的惯性矩为
4??2a?a3?a?2?a??aIy?2???????2a???3?3??2????36?
整个截面对y轴的惯性矩为
Iy??2a?124???2a?1284?a43?2.059a4
3. 求Iz
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