其中半圆形(图c)，对其直径的惯性矩为
?a8422??2a?1284??a84，对自身水平形心轴的惯性矩
IzII??a?4a?，对z1轴的惯性矩为 ????2?3??Iz1??a84?a?4a??a?4a? ????1.145a????2?3??12?3??2222整个截面对zC的惯性矩为
Izc22??2a?4???a4?4a?2?a2?4a2??a?????1.145a?a??4a????????1.145a???1283?83?2????????????32??2a??2a??2??24 ????2a?1.145a?a?2a??10.472a363??????
讨论：求半圆形对组合截面的形心轴z1的惯性矩时，必须正确理解平行移轴公式的条件，IⅠ??a84??1.145a2??a22。因为通过直径的轴和zⅠ轴都不是半圆形的形心轴，不能用平
行移轴公式。必须用平行移轴公式求出半圆形对自身水平形心轴ZII的惯性矩，再利用平行移轴公式求Iz。还要注意平行移轴公式中a2A项的正负号。
Ⅰ
例4-3 求图示截面对形心轴y和z1的惯性矩。 解：1. 确定形心位置
取参考坐标y和z如图所示。
Sz?yd?C?d?z1?45O?yC?45z ?AydA????cos????d?d??
A例4?3图??R2?23R ?2???d??4cos?d???o03??2yC?SzA?423?R2?R43?R3
2. 求Iy
Iy??AzdA?2???sin??A2??R3???2424R ??d?d???2??0?d??0sin?d???16??第 6 页 共 10 页
3. 求Iz
1Iz?Ip?Iy?14???2R?3224???216R?4??216R4
Iz124??24?42??R??248R24?Iz?yCA?R????R??0.0384R??3??164169???
2讨论：利用Iz?Ip?Iy，再利用平行移轴公式Iz?Iz?yCA，求Iz。
11
例4-4 求边长为a的正方形，挖去半径为a的14圆，如图中阴影线部分所示，求该截面对y和z轴的惯性矩和惯性积。
解：阴影面积可视为边长为a的正方形I和半径为a的14圆面
d?zd??O积II之差。
1. 正方形对y和z轴的惯性矩和惯性积分别为
Iy,I?Iz,I?a?214????a?a 12?2?3?a??a?214Iyz,I?0?????a?a
4?2??2??a?y a42例4?4图2. 14圆对y、z轴的惯性矩和惯性积分别为
IyII?IzII?1??2a?4644??a164
a0Iyz??AyzdA??A??sin????cos????d??d?4?12???d??2sin2?d??0318a
43. 阴影面积对y、z轴的惯性矩和惯性积分别为
Iy?Iz?13a?1444?a1618?416?3?4818a
4a
4Iyz?a?a?
例4-5 任意形状截面的面积为A，C为形心，a(y，z)点为其平面内的任意一点(图a)，截面对形心C的惯性矩为IpC，对a点的惯性矩为Ip，且Ip?2IpC。求A点的轨迹。
解：过a点作y1和z1轴，使y1//y，z1//z(图b)
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Czy(a)A?y,z?CArzz1y(b)例4?5图y1 由(4-8)式得
IpC?Iy?Iz
(1)
(2)
Ip?Iy1?Iz1
由平行移轴公式，得
Iy1?Iy?zA，Iz1?Iz?yA (3)
22(3)式代入(2)式，并利用(1)式，得
Ip?Iy?zA?Iz?yA?IpC??y?z2222?A
y?z?22Ip?IpCA?2IpC?IpCAIpCA?IpCA所以a(y，z)点的轨迹是以C
为圆心，半径为R?的圆。
例4-6 由三个直径为d的圆组成的组合截面如图a所示。
1.确定形心位置；2.求形心主惯性矩；3. 证明过形心的所有轴均为形心主轴，且所有形心主惯性矩均相等。
yy
yx1 bby1O1
3x?d3yx x1y1b3xd1? 23y(b)1Cd?y?xO6xa? OO3O2x0 dO(d)aa(c) (a)例4?6图
解：1. 确定形心C位置
C取参考坐标系x0Oy如图所示，xOC?0
3yC?2d?3??4d?0?d2236?4d
2. 求形心主惯性矩
224??3??3??2?d?2?114Ix???d??d?2???d??d???d?3??6?6444?64?64???????d4
??d4?d?2?2?114Iy??2?????d???d
644?2????64?64?d43. 证明过形心轴心的所有轴均为形心主轴，且所有形心主惯性矩均相等。
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由于Ix?Iy,Ixy?0(y为对称轴)，所以
Ix1y1?Ix?Iy2Ix?Iy2sin2??Ixycos2??0
Ix1??Ix?Iy2cos2??Ixysin2??Iy?Iz
即证：截面所有过形心的轴均为形心主轴，且所有形心主惯性矩均相等。
讨论：
1. 由本题可以推论，若截面对一对形心主轴的惯性矩相等，则过形心的轴均为形心主轴，且形心主惯性矩均相等。例如图b所示由四块等边角形组成的组合截面。
2.图c所示直径为d的半圆形截面，x和y为主惯性轴，且Ix?Iy??d4128。同样可以证
明，过O点的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩均相等。
由此可以推论：任意形状的截面，只要截面对过某一点的一对主惯性轴的惯性矩相等，则过该点的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩均相等。例如图d所示截面，其Ixy?0，Ix?Iy?
例4-7 求图示矩形截面对y1和z1轴的惯性矩和惯性积，以及以角点O为坐标原点的主惯性轴位置。
解：因为转轴公式中的角?，是由y和z轴绕坐标原点O逆时针旋转到y1和z1轴时为正，当取y和z轴如图所示时，转轴公式中的?为45?。
1. 利用平行移轴公式，可得
Iy?150mm??200mm?12200mm??150mm?1233b46?23za。
4z0y1200z145O?y?O150yO 例4?7图??100mm???150mm?200mm??400?10mm624
I2???75mm???150mm?200mm??225?10mm624
Iyz??100mm??75mm??150mm?200mm??225?10mm
642. 利用转轴公式，可得
Iy1?Iy?Iz2?Iy?Iz24cos90?Iy2sin90
64???400?10mm?225?10mm26?0?225?10mm ?87.5?10mm
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Iz1?Iy?Iz2?Iy?Iz24??cos90?Iy2sin90
?400?10mm?225?10mm2Iy?Iz2??66464?0?225?10mm ?537.5?10mm
64Iy1z1?sin90?Iy2cos90
646464?0 ?87.5?10mm
?400?10mm?225?10mm23. 由式(4-16)确定过0点的主惯性轴位置，即
tan2?0??2IyzIy?Iz??2?225?10mm646464400?10mm?225?10mm??450175??2.57
因为上式右端的分子为负，分母为正，所以2?0在第四象限中，即2?0为负角。由此得
2?0??68.8?，?0??34.4?
故将y和z绕角点O顺时针旋转34.4?，可不能主惯性轴y0和z0位置。
例4-8 在直径为d的圆中挖去一边长为a的正方形，其截形状如图中阴影线部分所示，求该截面对z轴的惯性矩。a?d2，?为任意角。
ad解：取zC轴为和z轴平行的形心轴，可直接利用正方形截面对形心轴的惯性矩均相等，所以正方形的Iz?CaazCa4aC12，而不
?例4?8图z 必用转轴公式。 截面对zC轴的惯性矩为
Izc??d644?a412
由平行移轴公式，可得
Iz?Izc?da15??134?d??d???22????A??????d?a??d 2641224192??????2442第 10 页 共 10 页