高中数学讲义
板块一.幂函数
典例分析
题型一：幂函数的定义
【例1】 下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）
A．y??x3 B．y?x?3 C．y?2x3 D．y?x3?1
【考点】幂函数的定义 【关键词】无
【解析】
【难度】1星
【题型】选择
形如y?ax(a?0且a?1)的函数叫做幂函数，答案为B．
【答案】B
【例2】 11．函数y?x【考点】幂函数的定义 【关键词】无
【解析】
?32的定义域是 .
【难度】1星
【题型】填空
【答案】(0,??)
2)，则f(4)的值等于（ ）. 211 A. 16 B. 2 C. D.
162【考点】幂函数的定义 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无
【解析】
【例3】 如果幂函数f(x)?x?的图象经过点(2,【答案】D
1【例4】 幂函数y?f(x)的图象过点(4,)，则f(8)的值为 .
2【考点】幂函数的定义 【关键词】无
【解析】
【难度】1星
【题型】填空
【答案】
2 4思维的发掘 能力的飞跃
1
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【例5】 下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.
A.y?x B. y?x C. y?x D.y?x
【考点】幂函数的定义
【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例6】 下列命题中正确的是
【难度】1星
【题型】选择
124?213 （ ）
A．当??0时函数y?x?的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点
C．若幂函数y?x?是奇函数，则y?x?是定义域上的增函数
D．幂函数的图象不可能出现在第四象限
【考点】幂函数的定义 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】无
【解析】 A错，当??0时函数y?x?的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B错，
如幂函数y?x的图象不过点（0，0）；C错，如幂函数y?x在定义域上不是增函数；D
?正确，当x?0时，x?0．
【答案】D
?1?1
【例7】 函数y?(m2?m?1)xm【考点】幂函数的定义 【关键词】无
【解析】
2?2m?1是幂函数，求m的值.
【题型】解答
【难度】2星
幂函数需要保证系数为1，同时指数为有理数，从此两个条件入手，可
以得到关于m的等式和不等式，从而解出m的值.
2∵y?(m2?m?1)xm?2m?1是幂函数， ∴函数可以写成如下形式y?xa(a是有理数) ∴m2?m?1?1，解得m1??1,m2?2 当m1??1时，m12?2m1?1?2?Q
m2?2时，m22?2m2?1??1?Q
∴m的值域为-1或2.
【点评】本题为幂函数的基本题目，注意不要忘了检验a是有理数. 【答案】-1或2
【例8】 求函数y?x?x?3?(x?3)0的定义域. 【考点】幂函数的定义 【关键词】无
【解析】
【难度】2星
【题型】解答
12这是几个幂函数的复合函数，求复合函数的定义域需要保证每一个函数
2
思维的发掘 能力的飞跃
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都有意义，即分母不为0、被开方数大于等于0.
?x?0?使函数有意义，则x必须满足?x?0，
?x?3?0?解得：x?0且x?3
即函数的定义域为{x|x?0,且x?3}.
【答案】{x|x?0,且x?3}
【例9】 函数y?(mx?4x?m?2)（ ）． Ａ．(5?1，2)
2) Ｃ．(?2，2?14?(m2?mx?1)的定义域是全体实数，则实数m的取值范围是
Ｂ．(5?1，?∞)
Ｄ．(?1?5，?1?5) 【难度】2星
【题型】选择
?14【考点】幂函数的定义 【关键词】无
【解析】
要使函数y?(mx?4x?m?2)2?(m2?mx?1)的定义域是全体实数，可
转化为mx2?4x?m?2?0对一切实数都成立，即m?0且??42?4m(m?2)?0．解得
m?5?1．
故选（Ｂ）
【答案】Ｂ
【例10】 讨论幂函数y?xa(a为有理数)的定义域. 【考点】幂函数的定义 【关键词】无
【解析】
【难度】2星
【题型】解答
(1)若a?N*，则x?R，这是函数的定义域为R.
(2)若a?{负整数} {0}，则x?(??,0)(0,??)，这时函数的定义域是(??,0)(0,??) (3)若a?n (m,n?N*,且m,n互质)，则： m①m是偶数，x?R?，这是函数的定义域是R?； ②m是奇数，x?R，这时函数的定义域为R
n(4)若a??(m,n?N*,且m,n互质)，则：
m①m是偶数，x?R?，这是函数的定义域是R?；
②m是奇数，x?(??,0)?(0,??)，这时函数的定义域是(??,0)?(0,??).
【答案】(1)若a?N*，则x?R，这是函数的定义域为R.
(2)若a?{负整数} {0}，则x?(??,0)(0,??)，这时函数的定义域是(??,0)(0,??)
(3)若a?n (m,n?N*,且m,n互质)，则： m①m是偶数，x?R?，这是函数的定义域是R?；
思维的发掘 能力的飞跃
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②m是奇数，x?R，这时函数的定义域为R
n(4)若a??(m,n?N*,且m,n互质)，则：
m①m是偶数，x?R?，这是函数的定义域是R?；
②m是奇数，x?(??,0)?(0,??)，这时函数的定义域是(??,0)?(0,??).
【例11】 已知幂函数y?xm?6(m?Z)与y?x2?m(m?Z)的图象都与x、y轴都没有公共点，且
y?xm?2(m?Z)的图象关于y轴对称，求m的值．
【考点】幂函数的定义 【关键词】无
【解析】
【难度】2星 【题型】解答
?m?6?0，解得2?m?6.
2?m?0?∵ 幂函数图象与x、y轴都没有公共点，∴ ?又 ∵ y?xm?2(m?Z)的图象关于y轴对称， ∴ m?2为偶数，即得m?4.
【答案】m?4
【例12】 幂函数f(x)?(t3?t?1)x【考点】幂函数的定义 【关键词】无
【解析】
7?3t?2t25是偶函数，且在(0,??)上为增函数，求函数解析式.
【题型】解答
【难度】2星
∵ f(x)是幂函数， ∴ t3?t?1?1，解得t??1,1或0.
75当t?0时，f(x)?x是奇函数，不合题意；
当t??1时；f(x)?x是偶函数，在(0,??)上为增函数； 当t?1时；f(x)?x是偶函数，在(0,??)上为增函数. 所以，f(x)?x或f(x)?x.
【答案】f(x)?x或f(x)?x.
【例13】 已知幂函数f(x)?xm2258525852585?2m?3(m?Z) 的图形与x轴对称，y轴无交点，且关于y轴对称，试
确定f(x)的解析式.
【考点】幂函数的定义 【关键词】无
【解析】
【难度】2星
【题型】解答
?m2?2m?3?02m??1，1，3 由??m?2m?3?2n?n?N?得?m?Z?m??1和3时解析式为f?x??x0，m?1是解析式为f?x??x?4
【答案】f?x??x?4
4
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题型二：幂函数的性质与应用
【例14】 下列函数在区间(0,3)上是增函数的是（ ）.
111 A. y? B. y?x2 C. y?()x D. y?x2?2x?15
3x【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无
【解析】
【答案】B
【例15】 下列函数中既是偶函数又是(??,0)上是增函数的是（ ）
A．y?x B．y?x C．y?x D．y?x
【考点】幂函数的性质与应用 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】无
【解析】 A、D中的函数为偶函数，但A中函数在(??,0)为减函数．
4332?2?14【答案】C
【例16】 y?xa2?4a?9是偶函数，且在(0,??)是减函数，则整数a的值是 .
【难度】1星
【题型】填空
【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
【答案】5；
【例17】 比较下列各组中两个值大小
611611（1）0.6与0.7（2）(?0.88)与(?0.89).
【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
【难度】1星
6115353【题型】解答
（1）∵函数y?x在(0,??)上是增函数且0?0.6?0.7???
∴0.6?0.7
（2）函数y?x在(0,??)上增函数且0?0.88?0.89 ∵0.88?0.89
∴?0.88??0.89，即(?0.88)3?(?0.89)3.
535355611611535353【答案】（1）0.6
611?0.7611（2）(?0.88)?(?0.89).
5353思维的发掘 能力的飞跃
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