高中数学讲义
【例18】 幂函数y?x(?1)knm（m,n,k?N*,m,n互质）图象在一、二象限，不过原点，则k,m,n的奇偶
【题型】填空
性为 .
【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【关键词】无
【解析】
【答案】m,k为奇数，n是偶数；
【例19】 求证：函数y?x3在R上为奇函数且为增函数. 【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
【难度】2星
【题型】解答
【答案】显然f(?x)?(?x)3??x3??f(x)，奇函数；
令x1?x2，则f(x1)?f(x2)?x13?x23?(x1?x2)(x12?x1x2?x22)， 其中，显然x1?x2?0，
22x1?x1x2?x2=(x1?1x2)2?3x22，由于(x1?1x2)2?0，3x22?0，
2424且不能同时为0，否则x1?x2?0，故(x1?1x2)2?3x22?0.
24从而f(x1)?f(x2)?0. 所以该函数为增函数.
【例20】 设a?0.7，b?0.8，c?log30.7，则（ ）.
1212 A. c
【答案】B
【例21】 比较下列各组数的大小： (a?2) a； (5?a) 5【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
【答案】>,≤, <,
a32322?23?23； 0.40.5 0.50.4.
【难度】2星 【题型】填空
1【例22】 （1）若a?0，比较2,()a,0.2a的大小；（2）若?1?a?0，比较3a,a3,a3的大小．
2【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无
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思维的发掘 能力的飞跃
【解析】
高中数学讲义
（1）当a?0时，幂函数y?xa在(0,??)上单调减，
∵0.2?11?2，∴2a?()a?0.2a． 221（2）当?1?a?0时，3a?0,a3?0,a3?0， 指数函数y?(?a)x在(0,??)上单调减，
1133?∵，∴0?(?a)?(?a)3，
3∴ 0?a3?a3，
∴ 3a?a3?a3
11aa3aa【答案】（1）2?()?0.2（2）3?a?a3
2
【例23】 函数y?x?2在区间[,2]上的最大值是
1112 （ ）
D．?4
A．
1 4B．?1 C．4
【难度】1星
【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
【题型】选择
11函数y?x?2在区间[,2]上单调减，当x?时，ymax?4．
22【答案】C
【例24】 函数y?x2?2x?24的单调递减区间是
【难度】2星
【题型】填空
12【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
2x?4或x??6，由x?2x?24?0得：∵ 函数y?t在[0,??)上为增函数，
函数t?x2?2x?24在(??,6]上为减函数，故所给函数的单调减区间为(??,?6]．
【答案】(??,?6]
【例25】 函数y?x|x|,x?R，满足
（ ）
A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数 C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数
【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
【难度】2星
【题型】选择
【答案】C
思维的发掘 能力的飞跃
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高中数学讲义
【例26】 已知幂函数y?f(x)的图象过点(27,3)，试讨论其单调性. 【考点】幂函数的性质与应用
【关键词】无
【解析】
13【难度】2星 【题型】解答
1
设y?x?，代入点(27,3)，得3?27?，解得??，
3
所以y?x，在R上单调递增.
【答案】R上单调递增
【例27】 对于幂函数f(x)?x，若0?x1?x2，则f(45x1?x2f(x)?f(x2))，1大小关系是（ ） 22A．f(x1?x2f(x1)?f(x2)x?x2f(x1)?f(x2))?)? B． f(1 2222x1?x2f(x1)?f(x2))? D． 无法确定 22【难度】2星
【题型】选择
C． f(【考点】幂函数的性质与应用
【关键词】无
【解析】
【答案】A
【例28】 已知0＜a＜1，试比较aa,?aa?,aa的大小．
【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】无
【解析】 本题考查的是幂函数的单调性知识，这里三个表达式的底数和幂都分别
a?a?不同，所以需要转化看待，将它们化成同类幂函数进行比较.
为比较aa与(aa)a的大小，将它们看成指数相同的两个幂，由于幂函数f?x??xa?0?a?1?在区间[0,??]上是增函数，因此只须比较底数a与aa的大小，由于指数函数y?ax (0＜a＜1)为减函数，且1>a，所以a?aa，从而aa?(aa)a.比较aa与a(a)的大小，也可以将它们看成底数相同(都是aα)的两个幂，于是可以利用指数函数 y?bx?b?aa,0?a?1?是减函数，由于1>a，得到a?aa.
由于a?aa，函数y?ax (0＜a＜1)是减函数，因此aa?a(a). 综上，?aa??aa?aa
【点评】解答本题的关键都在于适当地选取一个函数，函数选得恰当，问题可以顺利地获得解决..
【答案】?aa??aa?aa
aaaa?a??a?8
思维的发掘 能力的飞跃
?13?13高中数学讲义
?(3?2a)【例29】 已知(a?1)，求a的取值范围.
【难度】2星
?13【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
13【题型】解答
f(x)?x13在(??,0)、(0,??)上是减函数，对于不同的a+1和3-2a进行
?13讨论，将它们等价转化到同一个单调区间..
∵(a?1)和(3?2a)是幂函数f(x)?x的两个函数值， 且f(x)?x在(??,0)、(0,??)上是减函数
23当a?1?0,3?2a?0时，有a?1?3?2a?0，解得?a?；
32当a?1?0,3?2a?0时，有3?2a?a?1?0，此时无解
?13??当(a?1)(3?2a)?0时，有a?1?0且3?2a?0，解得a??1
23综上可知a的取值范围为(??,?1)?(,).
3223【答案】(??,?1)?(,).
32
【例30】 若(m?1)?1?(3?2m)?1，试求实数m的取值范围． 【考点】幂函数的性质与应用 【难度】2星 【关键词】无
【解析】 （分类讨论）：
?m?1?0，?（1）?3?2m?0，
?m?1?3?2m，?【题型】解答
23解得?dm?；
32
?m?1?0，?（2）?3?2m?0，此时无解；
?m?1?3?2m，?（3）??m?1?0，， 解得m??1．
3?2m?0，?
思维的发掘 能力的飞跃
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高中数学讲义
?1)?，?． 综上可得m?(?∞，?32??1)【答案】m?(?∞，?23??，? ?32??23?
【例31】 若(m?1)3?(3?2m)3，试求实数m的取值范围． 【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
【难度】2星
【题型】解答
?∞)上单调递增，所以（利用单调性）：由于函数y?x3在(?∞，m?1?3?2m，解得m?2． 3【答案】m?2 31212
【例32】 若(m?1)?(3?2m)，试求实数m的取值范围． 【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
【难度】2星
【题型】解答
?m?10，2?由图3，?3?2m?0，，解得 ?1≤m?．
3?3?2m?m?1，?
【答案】?1≤m?2 3
【例33】 若(m?1)4?(3?2m)4，试求实数m的取值范围． 【考点】幂函数的性质与应用 【关键词】无
【解析】
4【难度】2星 【题型】解答
0)(0，?∞)上作出幂函数y?x4的图象如图4．由图象知此函数在(?∞，44不具有单调性，若分类讨论步骤较繁，把问题转化到一个单调区间上是关键．考虑??4时，
x4?x．于是有(m?1)4?(3?2m)4，即m?1?3?2m．.
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思维的发掘 能力的飞跃