三角函数必备知识点及练习
1. 任意角的三角函数：
（1） 弧长公式：l?aR R为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，l为弧长。 （2） 扇形的面积公式：S?12lR R为圆弧的半径，l为弧长。
（3） 三角函数（6个）表示：a为任意角，角a的终边上任意点P的坐标为(x,y)，它与原
点的距离为r（r＞0）那么角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别是：
sina?yr，cosa?xr，tana?yx ，cota?xy，seca?rx，csca?ry.
（4） 同角三角函数关系式：
①倒数关系： tanacota?1 ②商数关系：tana?③平方关系：sin2a?cos2a?1
（5） 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）k·?/2+a所谓奇偶指的是整数k的奇偶性
函 数 sinx ?sina ?sina sinacosa， cota?cosasina
x ?a 2??a cosx cosa cosa ?sina tanx ?tana ?tana ?cota cotx ?cota ?cota ?tana ?2?a cosa 2.两角和与差的三角函数：
（1）两角和与差公式：
cos(???)?cosacos??sinasin? sin(a??)?sinacos??cosasin?
tana(a??)?tana?tan?1?tanatan? 注：公式的逆用或者变形 ．．．．．．．．．
（2）二倍角公式：
sin2a?2sinacosa cos2a?cos2a?sin2a?1?2sin2a?2cos2a?1 tan2a?2tana1?tana2 从二倍角的余弦公式里面可得出
降幂公式：cosa?21?cos2a2 ， sina?21?cos2a2
（3）半角公式（可由降幂公式推导出）： sina2??1?cosa2，cosa2??1?cosa2 ，tana2??1?cosa1?cosa?sina1?cosa?1?cosasina
3.三角函数的图像和性质：（其中k?z）
三角函数 定义域 值域 最小正周期 奇偶性 单调性 [2k??y?sinx y?cosx y?tanx x?k?? （-∞，+∞） [-1,1] T?2? （-∞，+∞） [-1,1] T?2? ?2 （-∞，+∞） T?? 奇 ?2,2k??偶 ?2] 奇 ?2 [(2k?1)?,2k?] 单调递增 [2k??单调递增 3?2(k??,k???2) ?2,2k??[(2k?,(2k?1)?] ]单调递减 单调递增 k?2单调递减 对称性 x?k???2 x?k? (,0) (k?,0) 零值点 最值点 x?k? (k???2,0) ?2x?k?? x?k? x?k???2 x?2k? ， 无 ， ymax?1 x?k???2 ymax?1； x?(2k?1)?ymin??1 ymin??1 4.函数y?Asin(?x??)的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如y?Asin(?x??)图像及性质）
2?（1） 函数y?Asin(?x??)和y?Acos(?x??)的周期都是T?????2
（2） 函数y?Atan(?x??)和y?Acot(?x??)的周期都是T?
3?2（3） 五点法作y?Asin(?x??)的简图，设t??x??，取0、
相应x的值以及对应的y值再描点作图。
、?、、2?来求
（4） 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变
换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。（附上函数平移伸缩变换）:
函数的平移变换：
①y?f(x)?y?f(x?a)(a?0) 将y?f(x)图像沿x轴向左（右）平移a个单位 （左加右减）
②y?f(x)?y?f(x)?b(b?0) 将y?f(x)图像沿y轴向上（下）平移b个单位 （上加下减）
函数的伸缩变换：
①y?f(x)?y?f(wx)(w?0) 将y?f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（w?1缩短， 0?w?1伸长）
②y?f(x)?y?Af(x)(A?0) 将y?f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（A?1伸长，0?A?1缩短） 函数的对称变换：
① y?f(x)?y?f(?x)) 将y?f(x)图像绕y轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于x轴对称）
② y?f(x)?y??f(x)将y?f(x)图像绕x轴翻折180°（整体翻折） （对三角函数来说：图像关于y轴对称）
③y?f(x)?y?f(x) 将y?f(x)图像在y轴右侧保留，并把右侧图像绕y轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）
④y?f(x)?y?f(x)保留y?f(x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去（局部翻动）
1w5.三角变换：
三角变换是运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算、化简的方法技能。
（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、删
除角的恒等变形
（2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式： asin??bcos??a?bsin(???)其中cos??22aa?b22,sin??ba?b22
（3） 常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特
别是常数“1”。 （4） 幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：
1?cosa常用升幂化为有理式。
（5） 公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。
（6） 结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移项，或变乘为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
（7） 消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法
（8） 思路变换：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去
选择更合适、简捷的方法去解题目。
（9） 利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：sina?cosa ，sinacosa sina?cosa，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。 6.函数的最值（几种常见的函数及其最值的求法）：
①y?asinx?b（或acosx?b)型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论 ②y?asinx?bcosx型：引进辅助角化成y?a?bsin(x??)再利用有界性
22③y?asin2x?bsinx?c型：配方后求二次函数的最值，应注意sinx?1的约束 ④y?asinx?bcsinx?d型：反解出sinx，化归为sinx?1解决
⑥y?a(sinx?cosx)?bsinx?cosx?c型：常用到换元法：t?sinx?cosx，但须注意t的取值范围：t?2。
（3）三角形中常用的关系：
sinA?sin(B?C)， cosA??cos(B?C)， sinsin2A??sin2(B?C)， cos2A?cos2(B?C)
A2?cosB?C2，
练习题：
1.（08全国一6）y?(sinx?cosx)2?1是（ ） A．最小正周期为2π的偶函数 C．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为π的奇函数
??π??的图象，只需将函数y?sinx的图像（ ） 3?π2.（08全国一9）为得到函数y?cos?x?A．向左平移C．向左平移
π65π6个长度单位 个长度单位
B．向右平移D．向右平移
65π6个长度单位 个长度单位
3.(08全国二1)若sin??0且tan??0是，则?是（ ） A．第一象限角
B． 第二象限角 C． 第三象限角 D． 第四象限角
4.（08全国二10）．函数f(x)?sinx?cosx的最大值为（ ）A．1 B． 2 C．3 D．2 5.（08安徽卷8）函数y?sin(2x?A．x???6?3)图像的对称轴方程可能是（ ）
B．x???12 C．x??6 D．x??12
6.（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移
?2个单位后，得到函数y=g(x)的图象，
则g(x)的解析式为( )A.-sinx B.sinx C.-cosx D.cosx 7.（08广东卷5）已知函数f(x)?(1?cos2x)sin2x,x?R，则f(x)是（ ） A、最小正周期为?的奇函数 B、最小正周期为C、最小正周期为?的偶函数 D、最小正周期为
?2的奇函数 的偶函数
?28.（08海南卷11）函数f(x)?cos2x?2sinx的最小值和最大值分别为（ ）
A. －3，1
B. －2，2
C. －3，
32 ?3 D. －2，
32
9.（08湖北卷7）将函数y?sin(x??)的图象F向右平移的一条对称轴是直线x? A.
512个单位长度得到图象F′，若F′
?1,则?的一个可能取值是（ ） 512? B.?? C.
sinxsinx?2sinx21112? D.?1112?
10.（08江西卷6）函数f(x)?是（ ）
A．以4?为周期的偶函数 B．以2?为周期的奇函数 C．以2?为周期的偶函数 D．以4?为周期的奇函数
11.若动直线x?a与函数f(x)?sinx和g(x)?cosx的图像分别交于M，N两点，则MN的最大值为（ ）A．1
??B．2 C．3 D．2
12.（08山东卷10）已知cos???π?4?sin???6?545457π??3，则sin????的值是（ ）
6??A．?235 B．
235 C．? D．
13.（08陕西卷1）sin330?等于（ ）A．?32 B．?12 C．
12 D．32
214.（08四川卷4）?tanx?cotx?cosx?( )Ａ.tanx Ｂ.sinx Ｃ.cosx Ｄ.cotx
15.（08天津卷6）把函数y?sinx(x?R)的图象上所有的点向左平行移动再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
12?3个单位长度，
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数