∵AD⊥平面ABEF BO?面ABEF
∴BO⊥平面ADE ∴OH为BH在平面ADE内的射影 ∴BH⊥DE 即∠BHO为所求二面角的平面角 在Rt△ABE中，BO＝2 在Rt△DBE中，
由BH·DE＝DB·OE得BH＝3
D （9分）
C
N A M O
H B
∴sin∠BHO＝
BO26??． （12分） BH33F E
方法二：由题设及（Ⅰ）可得AF⊥AB，AF⊥AD，AB⊥AD
如图分别以射线AF、AB、AD为x、y、z轴建立空间直角坐标系A—xyz 由（Ⅱ）知，AF＝BE＝2，AB＝EF＝CD＝2，AD＝BC＝22
∴A(0,0,0) B(0,2,0) C(0,2,22) D(0,0,22) E(2,2,0) F(2,0,0)（9分） 在正方形ABEF中，BF⊥AE，又AD⊥平面ABEF
∴BF⊥平面ADE ∴BF是平面ADE的法间量，BF?(2,?2,0) 设平面BDE的法向量为n?(x?y?z)
?? 由BD?(0,?2,22)，BE?(2,0,0)及n⊥BD，n⊥BE得
?????????2y?22z?0?n?BD?0 ????? ∴? ??2x?0???n?BE?0??y?2z∴? 取z＝1 ??x?0? 得平面BDE的一个法向量为n?(0,2,1)
z D N A y B C 设二面角A―DE―B的大小为α 则cos??M BF?nBFn?228?3?3 3x F E ∴sin??6． 3 （12分）
19解：由f(x)?ln(1?x)?x得 1?ax
- 6 -
1?2a)21(1?ax)?axa?? f'(x)?
1?x(1?ax)2(1?x)(1?ax)2a2x(x? （2分）
（Ⅰ）∵f(x)在(0,??)内为单调增函数 ∴f?(x)?0在(0,??)上恒成立．
1?2a)?0在(0,??)上恒成立 a21?2a1∴2?0 ∴a?
2a1?2aa2x(x?2)1?2aa?0 （Ⅱ）由f'(x)?得x=0，（a>0） x?1222a(1?x)(1?ax)又a>0 ∴x(x? ∴当0?a?（5分）
11?2a时，由f?(x)?0得x?(?1,0)?(2,??)， 2a1?2a由f?(x)?0得x?(0,2)
a1?2a ∴f(x)在x?2处取得极小值．（不合题意）
a （7分）
a2x21?0对x?(?1,??)恒成立． 当a?时，f'(x)?2(1?x)(1?ax)2 ∴f(x)在定义域内无极小值． 11?2a 当a?时，由f?(x)?0得x?(?1,2)?(0??)
2a
（9分）
1?2a 由f?(x)?0得x?(2,0)
a1 可得函数f(x)在x=0处取极小值时，a?(,??)．
220解：（Ⅰ）由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零
所以KPM?KPN?整理得x?2 （12分）
yy??? x?1x?1?1（λ≠0，x≠±1） （3分） ? （Ⅱ）①当??0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的双曲线（除去顶点）
②当?1???0时，轨迹C为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆（除去长轴 两个端点）
③当???1时，轨迹C为以原点为圆心，1的半径的圆除去点(－1，0)，(1，0) ④当???1时，轨迹C为中心在原点，焦点在y轴上的椭圆（除去短轴的两个 端点） （7分） y2?1（x≠±1） （Ⅲ）当???2时，轨迹C的椭圆x?22y2 由题意知，l的斜率存在
设l的方程为y?kx?1，代入椭圆方程中整理得
(k2?2)x2?2kx?1?0 （*）
- 7 -
设A(x1,y1) B(x2,y2)，则x1，x2的方程（*）的两个实根
∴x1?x2??∴S?OAB? ?2k1， xx??1222k?2k?2 （9分）
1AB?d 21111?k2x1?x2??x1?x2 2k2?1211(x1?x2)2?4x1x2? ?224k24?
(k?2)2k2?2（11分）
k2?112?2?? ?2?
122(k2?2)2(k?1)?2?2k?1 当k＝0时，取“＝”
∴k＝0时，△OAB的面积取最大值为
21解：（Ⅰ）证明：由an?1? an?1?2?an?1?1?2． 2 （13分）
3an?2得
an?23an?2a?2?2?n an?2an?23an?24(an?1)?1? an?2an?2
① ②
∴
an?1?21an?2a?211??? 即bn?1?bn，且b1?1an?1?14an?1a1?144∴数列?bn?是首项为
11，公比为的等比数列． 44 （3分）
1?2?4nan?211n?11 （Ⅱ）由(Ⅰ)可知bn?()?n? ∴an?n
44an?14?1411?2?44n 由an?t?4n得t?n?(4?1)4n4n?1n2? （5分）
1n 易得n4是关于n的减函数
4?12?112?n4?3，∴t?3 ∴n4?4?1444?12? （8分）
1?2?4n1?2?4n3?4n?1?n （Ⅲ）由an?n得an?1?n
4?14?14?1
- 8 -
∴
31?1?n an?14111 ∴C1?C2?C3???Cn?(1?)?(1?2)???(1?n)
444 下面用数学归纳法证明不等式：
（10分）
若x1,x2,?xn为正数，则(1?x1)?(1?x2)???(1?xn)?1?(x1?x2??xn)(n?2,n?N)（*） 1o当n?2时，∵x1?0,x2?0 ∴(1－x1)(1－x2)＝1－(x1＋x2)＋x1x2＞1－(x1＋x2) 2o假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即若x1，x2，??，xk为正数，则 (1－x1)(1－x2)?(1－xk)＞1－(x1＋x2?＋xk)
那么(1－x1)(1－x2)?(1－xk)(1－xk＋１)＞(1－xk＋１)
＞
这就是说当n＝k＋1时不等式成立． （12分） 根据不等式（*）得：
111C1?C2?C3???Cn?(1?)?(1?2)???(1?n)
44411112 ?1?(?2???n)?1?4?
134441?4∴C1?C2?C3???Cn?
2 3 （14分）
- 9 -