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北京市宣武区
2009—2010学年度高三第二学期第一次质量检测
数 学 试 题（理）
2010．4
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，
有且只有一个是符合题目要求的） 1．设集合P?{x|x2?23x?0},m?20.3，则下列关系中正确的是
A．m?P
B．m?P
C．{m}?P
D．{m}?
?（ ）
2．设平面向量a?(1,2),b?(?2,y),若a//b,则|3a?b|等于
A．5
B．6
C．17
D．26
D．第四象限
D．（3，4）
[来源:Z.xx.k.Com]（ ）
3．若复数z满足
z?2i, 则z对应的点位于 1?iB．第二象限
3（ ）
A．第一象限 C．第三象限
4．设函数f(x)?x?()
A．（0，1）
12x?2,则其零点所在的区间为
C．（2，3）
（ ） （ ）
B．（1，2）
5．若{an}为等差数列，Sn是其前n项和，且S11?A．3
B．?3
22?，则tana6的值为 3D．?
C．?3
3 3x2y2x2y2??1与双曲线6．若椭圆??1(m,n,p,q均为正数）有共同的焦点F1，F2，Pmnpq是两曲线的一个公共点，则|PF1|?|PF2|等于
A．p?m
?2
D．m?p
22（ ）
B．p?m C．m?p
7．某单位员工按年龄分为A，B，C三级，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从
总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是单位员工总数为
1,则该45（ ）
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A．110 B．100 C．90 D80．
8．设函数y?f(x)的定义域为R+，若对于给定的正数K，定义函数
2?K,f(x)?K,1f(x)?,K?1，则当函数时，定积分?1fk(x)dx的值为 fK(x)??xf(x),f(x)?K,4?
A．2ln2+2
B．2ln2-1
C．2ln2
D．2ln2+1
（ ）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
9．把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5
组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是 .
10．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 cm3.
OB11．若A，B，C是⊙O上三点，PC切⊙O于点C， ?ABC?110?,?BCP?40?，则?A的大小为 .
??x?a?2cos?12．若直线l:x?3y?0与曲线C:?
??y?2sin?（?为参数，a?0）有两个公共点A，B，且|AB|=2，则实数a的值为 ；在此
条件下，以直角坐标系的原点为极点，x轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线C的极坐
标方程为 .
13．若A，B，C为?ABC的三个内角，则14．有下列命题：
①若f(x)存在导函数，则f'(2x)?[f(2x)]';
②若函数h(x)?cosx?sinx,则h'(4441?的最小值为 . AB?C?12)?[f(2x)]';
)(x?2100)，则g'(2010)?2009!; ③若函数g(x)?(x?1)(x?2)?(x?200932④若三次函数f(x)?ax?bx?cx?d,则\a?b?c?0\是“f(x)有极值点”的充
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要条件.
其中真命题的序号是 . 三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题共13分）
已知函数f(x)?cos(2x??3)?sin2x?cos2x.
（I）求函数f(x)的最小正周期及图象的对称轴方程； （II）设函数g(x)?[f(x)]2?f(x),求g(x)的值域.
[来源学科网Z|X|X|K]
16．（本小题共13分） 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=
∠BAD=90°，PA?PB?BC?1AD.E为AB中点，F为PC中点. 2 （I）求证：PE⊥BC；
（II）求二面角C—PE—A的余弦值；
（III）若四棱锥P—ABCD的体积为4，求AF的长.
17．（本小题共13分）
某公司要将一批海鲜用汽车运往A城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销
售收入30万元，每提前一天送到，或多获得1万元，每迟到一天送到，将少获得1万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路1或公路2中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示. 统计信息 汽车行驶 路线 公路1 公路2 不堵车的情况下到达所需时间（天） 堵车的情况下到达所需时间（天） 堵车的概率 运费（万元） 2 1 3 4 [来源学*科*网Z*X*X*K]1 101 21.6 0.8 （I）记汽车走公路1时公司获得的毛利润为?（万元），求?的分布列和数学期望E?; （II）假设你是公司的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能获得的毛利润更多？
（注：毛利润=销售收入-运费）
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18．（本小题共13分）
已知函数f(x)?13x?ax2?(a2?1)x?b(a,b?R). 3 （I）若x=1为f(x)的极值点，求a的值；
（II）若y?f(x)的图象在点（1，f(1)）处的切线方程为x?y?3?0，
（i）求f(x)在区间[-2，4]上的最大值；
（ii）求函数G(x)?[f'(x)?(m?2)x?m]e(m?R)的单调区间.
19．（本小题共14分）
?x[来源学*科*网]
x2y26已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为.
3ab （I）若原点到直线x?y?b?0的距离为2,求椭圆的方程； （II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45?的直线l和椭圆交于A，B两点. （i）当|AB|?3，求b的值；
（ii）对于椭圆上任一点M，若OM??OA??OB，求实数?,?满足的关系式.
20．（本小题共14分）
已知数列{an}满足a1?1，点(an,an?1)在直线y?2x?1上. （I）求数列{an}的通项公式； （II）若数列{bn}满足b1?a1,[来源:Zxxk.Com]
bn111?????(n?2且n?N*), ana1a2an?1 求bn?1an?(bn?1)an?1的值；
（III）对于（II）中的数列{bn}，求证：(1?b1)(1?b2)?(1?bn)? (n?N).
*10b1b2?bn 3
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参考答案
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，
有且仅有一个符合题目要求的） 1—4 DABB 5—8 CCBD
二、填空题（本大题共有6个小题，每小题5分，共30分） 9．0.12 10．6 11．60°
[来源学&科&网]12．2,?2?4?cos??2?0 13．
9?
14．③
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分13分）
解：（I）f(x)?132x?sin2x?sin2x?cos2x 22?13?cos2x?sin2x?cos2x?sin(2x?) 2262??? 2∴最小正周期T?由2x?得x??6?k???2(k?Z)，
k???(k?Z) 23k???(k?Z). 232函数图象的对称轴方程为x?2????7分
（II）g(x)?[f(x)]?f(x)?sin(2x?当sin(2x??6)?sin(2x??6)?[sin(2x??11)?]2?. 6241)??时， 621g(x)取得最小值?，
4?当sin(2x??6)?1时，
????13分
?g(x)取得最大值2，所以g(x)的值域为[?,2].
416．（本题满分13分）
解：（I）?PA?平面ABCD,BC?平面ABCD