数学物理方程习题
第一章 分离变量法
1、求解定解问题：
utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（P-223） ?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为T，在距一端为x0的一点以力F0把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。[提示：定解问题为
utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?F0l?x0x,(0?x?x0), ??Tlu(x,0)???F0x0(l?x),(x?x?l),0??Tlut|t?0?0.] (P-227)
3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。[定解问题为
k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tC???] (P-230) u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解问题
??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0. ??3?x?u?u?Asin,?0.?t?0l?tt?0?
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4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1?2?)，放手后自由振动，求解杆的这一振动。[提示：定解问题为
?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??] (P-236) ?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、长为l的杆，一端固定，另一端受力F0而伸长，求解杆在放手后的振动。[提示：定解问题为
?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??] (P-238) x?uxF?0?u(x,0)??0dx??0dx,?xYS?ut|t?0?0.??6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为v0时突然停止，求解杆的振动。[提示：定解问题为
?vtt?a2vxx?0,(0?x?l),??v(0,t)?0,vx(l,t)|x?l?0,] (P-242) ?v(x,0)?v0,??vt(x,0)|t?0?0.?7、求解细杆导热问题，杆长l，初始温度均匀为u0，两端分别保持温度为u1和u2。[提示：定解问题为
?ut?a2uxx?0,??u|x?0?u1,u|x?l?u2,] (P-251) ?u|t?0?u0.?8、在矩形区域0?x?a,0?y?b上求解拉氏方程?u?0，使满足边界条件
u|x?0?Ay(b?y),u|x?a?0.u|y?0?Bsin?xa,u|y?b?0.(P-265)
9、均匀的薄板占据区域0?x?a,0?y??，边界上温度u|x?0?0,u|x?a?0,u|y?0?u0，
limu?0。[提示：泛定方程为：uxx?uyy?0.](P-269)
y??10、矩形膜，边长l1和l2，边缘固定，求它的本征振动模式。[提示：定解问题为
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utt?a2(uxx?uyy)?0,(0?x?l1,0?y?l2),u|x?0?0,u|x?l1?0,u|y?0?0,u|x?l2?0.11、细圆环，半径为R，初始温度分布已知为f(?)，?是以环心为极点的极角，环的表面是绝热的。求解环内温度变化情况。[提示：其定解问题为
] (P-271)
?ut?a2u???0,0???2?,?ut?f(?),] (P-274) ??u(??2?)?u(?).?12、在圆形域内求解?u?0使满足边界条件
(1)u|??a?Acos?,(2)u|??a?A?Bsin?。[提示：泛定方程为 u???1u???0???a?u?0,??.] (P-275) 2????0???2??1?13、半圆形薄板，板面绝热，边界直径上温度保持零度，圆周上保持u0，求稳定状态下的板上温度分布。[提示：定解问题为
11?u?u???????2u???0,(0???R,0????),??u|??0?0,] (P-276) ??u|????0,(0???R),?u|??R?u0,0????).??14、在以原点为心，以R1和R2为半径的两个同心圆所围城的环域上求解?u?0，使满足边界条件u|??R1?f1(?),u|??R2?f1(?)。[提示：泛定方程为
2u???1?u???R1???R2?u?0,??.] (P-282) 2??0???2????115、两端固定的弦在线密度为?f(x,t)???(x)sin?t的横向力作用下振动，求解其振动情况，研究共振的可能性，并求共振时的解。[提示：定解问题为
?utt?a2uxx??(x)sin?t,??u|x?0?0,u|x?l?0,] (P-292) ?u|?0,u|?0.t?0tt?0?16、两端固定弦在点x0受谐变力?f(x,t)??f0sin?t作用而振动，求解振动情况。[提示：外加力的线密度课表为?f(x,t)??f0sin?t?(x?x0)，所以定解问题为
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?utt?a2uxx?f0sin?t?(x?x0),?u|x?0?0,u|x?l?0,] (P-297) ??u|t?0?0,ut|t?0?0.?bb217、在矩形域0?x?a,??y?上求解?u??2且u在边界上的值为零。(P-303)
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第二章 球函数
??1、在本来是匀强的静电场E0中放置导体球，球的半径为a，试研究导体球怎样改变了匀强
静电场。[提示：定解问题为
?2u?0, （1）
?u|r????E0z??E0rcos?,(设导体放入前，u|r?0=0),（2）和（3）] (P-369) ?u|r?a?C.?2、在点电荷4??0q的电场中放置导体球，球的半径为a，球心与点电荷相距d(d?a)，求解这个静电场。[提示：定解问题为
??2v?0,?q??u??v,] (P-370) D??v|?0,?r?a??v|r???0.3、求解
??2u?0,(r?a),(P-372) ?2u|?cos?.?r?04、 在球坐标系中利用分离变量法求下列定解问题。
??2u?0(0?r?a)??1??2?ur?a?4sin??cos?sin???（08~09）
2????u有限?r?0
5、用一层不导电的物质把半径为a的导体球壳分隔为两个半球壳，使半球各充电到电势为v1和v2，试解电场中的电势分布。[提示：定解问题为
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??????2ui?0,(r?a),?ui|r?0有限，(自然边界条件) (P-373) ?????v,(0???)或(0?x?1),1??2?u|?.?ir?a???v,(????)或(?1?x?0)?2??2?6、半球的球面保持一定温度u0，半球底面（1）保持0C，（2）绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。[提示：定解问题为
??2?u?0,(r?a),???u|r?0有限，u|r?a?u0,](P-375) ?u|??0.????2第三章 柱函数
1、半径为R的圆形膜，边缘固定，初始形状是旋转抛物面u|t?0?(1??2/R2)H，初速为零，求解膜的振动情况。[提示：定解问题为
1?2u?a(u?u)?0,???tt?????u|??0有限，u|??R?0,] (P-399) ?2??u|t?0?H(1?2),ut|t?0?0.?R?12、利用递推公式证明J2(x)?J0??(x)?J0?(x)并计算?x4J1(x)dx
x3、半径为R的圆形膜，在?0,?0受到冲量K作用，求解其后的振动。[提示：定解问题为
utt?a2?2u?0, （1）
（膜边缘固定），??u|??R?0, （2） ?u| 有限，???0?（初位移为零），?u|t?0?0,? （3）](P-401) k?u|=?(?-?)??(?-?)。00?tt?0p??04、半径为R的圆形膜，边缘固定，求其本征频率和本征振动。[提示：定解问题为
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