证明题
1. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)上可导, 且f(a)f(b)?0,f(a)f?存在??(a,b)使f?(?)?f(?)成立.
2. 证明不等式 arctanx?ln(1?x2)??a?b???0, 证明
?2???1??ln2,??x?1? 4?2?3. 证明不等式1?xlnx?1?x2?1?x2,?x?0? 4. 证明 当0?x1?x2????2时,
tanx2x2? tanx1x15. 证明方程x?2x?c?0在区间[0, 1]上不可能有两个不同的实根(c为任意常数). 6. 设函数y?f(x)在x?0的某邻域内具有
(n?1)32n阶导数, 且
f(0)?f?(0)???ff(x)f(n)(?x),?0???1?. (0)?0. 证明 n?xn!x7. 证明 当x?0时, e?1?(x?1)ln(x?1).
8. 设f(x)在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 且f(1)?0, 证明存在??(0,1), 使得
f?(?)??f(?)?
9. 若f(x)在[a, b]连续, 在(a,b)内可导(a?0), 证明在(a,b)内至少存在一点?, 使
2?[f(b)?f(a)]?(b2?a2)f?(?)成立.
b,?a?0? a1f(x),11. 若f(x)在[a,b]上连续,任意的x?[a,b],存在y?[a,b], 使得f(y)?210. 设f (x)在[a, b]上连续，(a, b)内可导证明f(b)?f(a)??f?(?)ln证明存在??[a,b], 使得f(?)?0.
12. 设f(x)在(0,??)上二阶可导, 且在任意区间上都不恒等于零, 并满足 f??(x)?(x证明f(x)在(0,??)上最多有一个实根. ?3x)f(, x)13. 证明对[a,b]上的可微函数f(x)存在c(a?c?b), 使
bn1
b?af(a)anf(b)?cn?1[nf(c)?cf??(c)],(n?1).
f?(c)(b?a)f(b)f(c)14. 若f(x)是[a, b]上的正值可微函数, 则有c,(a?c?b), 使. ?ef(a)15. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导0?a?b证明在(a, b)存在?,?使得
f?(?)?a?bf(?). 2?16. 设函数f(x)在(a, b)内存在二阶导数, 且f??(x)?0, 试证: 若x0?(a,b),则对(a, b)内任意x有: f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0).
17. 如果f(x)在(-?,+?)内满足关系式f?(x)?f(x)且f(0)?1证明f(x)?ex. 18. 证明
a?b1?a?b?a1?a?b1?b.
19. 利用函数凹凸性证明xlnx?ylny?(x?y)lnx?y,(x?0,y?0,x?y). 220. 设f(x),g(x)在[a,b]上可微, g?(x)?0, 证明存在??(a,b), 使得
f(a)?f(?)f?(?)?
g(?)?g(b)g?(?)x2?ln(1?x)?x. 21. 证明 当x?0时x?222. 证明 当0?x??2时, tanx?x?13x. 3223. 设f(x)在[a,b]上有定义, 若f(x1)?f(x2)?(x1?x2),?x1,x2?[a,b], 证明
f(x)在[a, b]上恒为常数.
24. 设f(x),g(x)均在[a,b]上有定义, f(x)二阶可导, 且满足
f??(x)?f?(x)g(x)?f(x)?0
若f(a)?f(b)?0, 证明f(x)?0,?x?[a,b].
25. 设f(x)在[a,b]上有二阶导数, f(a)?f(b),f?(a)?0, 证明存在??(a,b) 使
f??(?)?0.
26. 若f(x),g(x)在(a, b)内可导, 证明
f(a)f(b）f(a)f?(?)?(b?a),(a???b)
g(a)g(b)g(a)g?(?)27. 设f(x)在[x,x?h]上连续, 且二次可微, ??[0,1], 则必存在??(0,1)使得
h2f(x??h)??f(x?h)?(1??)f(x)??(??1)f??(x??h)
228. 设函数f(x),g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且对于(a, b)内的一切x有
f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0.试证如果f(x)在(a, b)内有两个零点, 则介于这两个零点之间,
g(x)至少有一个零点.
29. 若f(x)是[0, 1]上有三阶导数, 且f(0)?f(1)?0, 设F(x)?xf(x), 则在(0, 1)内至少有一点?, 使F???(?)?0.
30. 设f(x)在(0,??)可导, 且0?f(x)?3x,证明存在??0, 使21?x1??2f?(?)?. 22(1??)31. 设函数f(x)在(a,??)二次可微, 并且f(x), f??(x)在(a,??)有界, 即
f(x)?M0,f??(x)?M2,(a?x???),证明f?(x)在(a,??)有界, 并且
f?(x)?2M0M2.
32. 设函数f(x)在[0,1]可导, 且0?f(x)?1, 对于(0,1)内所有的x,f?(x)?1, 证明在(0,1)内有且仅有一个x, 使f(x)?x.
33. 设f(x)在[0,??)上可导, 且当x?0时, 有0?f?(x)?1x1??,(??0).证明
x???limfx(存在).
34. 设在(0,a)上, f??(x)?M, 且f(x)在(0,a)内取得最大值, 试证
f?(0)?f?(a)?Ma.
35. 若函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内有二阶导数, 且f(a)?f(b)?0,f(c)?0, 其中a?c?b则至少有一点??(a,b)使f??(?)?0.
36. 设函数f(x)在[-1, 1]上可微, 且f(0)?0,
f?(x)?M证明在[-1, 1]上,
f(x)?M,其中M>0为常数.
37. 设f(x)在任何点x处均有二阶连续导数, 且h为一正数, 若
f(x)?恒成立, 试证f??(x)?0.
1?f(x?h)?f(x?h)? 238. 若f(x)是[a, b]上可微的非线性函数, 则有c,(a?c?b)使f?(c)?作出这一事实的几何解释.
f(b)?f(a)b?a39. 设f(x)在[a, b]上可微, f?(a)?0,f?(b)?0,f(a)?f(b)试证方程f?(x)?0在
(a,b)内有相异的两个根.
40. 设f(x)在[x1,x2]上可微, 且x1,x2?0, 证明
x11x1?x2f(x1)xx2f(x2)?f(?)??f?(?),?x1???x2?.
x41. 如果x1x2?0, 试证e2?x2e1?(1??)e(x1?x2),其中?在x1,x2之间. 42. 证明
?x1?x2???xnn?x1x2?xn, xi?0,(i?1,2,?,n).
n43. 若f??(x)在区间[a,b]上存在, f?(a)?f?(b)?0, 则在(a,b)内至少存在一点?, 满足f??(?)?4f(b)?f(a). 2(b?a)(4)44. 设函数y?f(x)在区间(??,??)内有n阶导数, 且f(x)?M.证明对于此邻
域内异于x0的任何x均有f??(x1)?关于x1点对称的.
f(x)?2f(x1)?f(x2)M?(x?x1)2, 其中x2与x是2(x?x1)1245. 设f(x),g(x)在[a,b]上两次可微, f(a)?g(a)?f(b)?0, 则存在c,(a?c?b),
f??(c)g(c)?2f?(c)g?(c)?f(c)g??(c)?0.
46. 设f(x),g(x),h(x)在[a,b]连续, 在(a,b)内可导, 证明存在??(a,b), 使
f(a)g(a)h(a)f(b)g(b)h(b)?0 f?(?)g?(?)h?(?)47. 设函数f(x)可导, x?[a,a?h],(h?0)证明
f(a?h)?f(a)?(eh?1)e??hf?(a??h)(0???1)
48. 设f(x)在有限区间(a,b)上有有界的导数, 证明f(x)在(a,b)有界. 举例说明在
(a,b)的有界函数f(x)可导时, f?(x)未必有界.
49. 设函数f(x)在(??,??)有连续的三阶导数, f(x)不恒等于常数, 且在等式
f(x?h)?f(x)?hf?(x??h),(0???1)中, ?与h无关, 证明f(x)必为一个一次函数或
者二次函数.
50. 设f(x)在[0,1]有二阶导数, 且f(0),f(1)?0,?10f(x)dx?0,f??(x)?0, 证明
f(x)在(0,1)内仅有两个零点.