圆学子梦想 铸金字品牌
课时提升卷(九)
直线与平面垂直
一、填空题(每小题6分,共48分)
1.垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是 . 2.(2013·淮安高一检测)如图,PA⊥面ABC,在△ABC中,BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为 .
3.(2012·浙江高考改编)已知矩形ABCD,AB=1,BC=
.将△ABD沿矩形的对角线
BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中, (填序号). (1)存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 (2)存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 (3)存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
(4)对任意位置,三对直线“AC与BD”“AB与CD”“AD与BC”均不垂直 4.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,D是侧面PBC上的一点,过D作平面ABC的垂线DE,其中D?PC,则DE与平面PAC的位置关系是 .
5.在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,PA⊥平面ABCD,且PA=1,则点P到对角线BD的距离是 .
6.如图所示,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的正投影,给出下列结
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论:
①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正确的序号是 .
7.(2013·苏北五校联考)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是 .
8.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1,AB上的点,若∠B1MN=90°,则∠C1MN= .
二、解答题(9题,10题16分,11题20分)
9.如图所示,已知PA⊥☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,过A作AE⊥PC于E,求证:AE⊥平面PBC.
10.如图所示,设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧,AA'⊥α于A',BB'⊥α于B',CC'⊥α于C',G,G'分别是△ABC和△A'B'C'的重心,求证:GG'⊥α.
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11.(能力挑战题)已知ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AB=2,AD=4,E为BC的中点. 求证:DE⊥平面PAE;DE⊥PE.
答案解析
1.【解析】梯形的两腰所在的直线是相交的直线,故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线,所以直线与平面垂直. 答案:垂直
【变式备选】?ABCD的对角线交点为O,点P在?ABCD所在平面外,且PA=PC,PD=PB,则PO与平面ABCD的位置关系是 . 【解析】因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC, 同理可得PO⊥BD,因为AC∩BD=O, 所以PO⊥平面ABCD. 答案:垂直
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2.【解析】因为PA⊥面ABC, 所以PA⊥AB,PA⊥AC,
所以△PAB,△PAC为直角三角形. 因为BC⊥AC,所以△ABC为直角三角形, 因为BC⊥AC,BC⊥PA,PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC.
因为PC?平面PAC,所以BC⊥PC, 所以△PBC也为直角三角形. 答案:4
3.【解析】分别取AD,AC,BC的中点E,F,G,则EF∥CD,FG∥AB,且EF=FG=,未翻折之前EG=1,翻折过程中应有EG=的时候,也即存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直. 答案:(2)
4.【解析】因为PA⊥平面ABC, DE⊥平面ABC, 所以DE∥PA. 又DE?平面PAC, PA?平面PAC, 所以DE∥平面PAC. 答案:平行
5.【解析】因为AB=3,BC=4,所以BD=5, 过A作AE⊥BD.连结PE,
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因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD, 因为PA∩AE=A,所以BD⊥平面PAE, 所以PE⊥BD.
在△ABD中,AE=,所以PE=答案:
6.【解析】对于①,因为PA⊥平面ABC,故PA⊥BC.又BC⊥AC,故BC⊥平面PAC,从而BC⊥AF.
又AF⊥PC,故AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB,故①正确.对于②,由①知AF⊥PB, 而AE⊥PB,
从而PB⊥平面AEF,故EF⊥PB,故②正确. 对于③,显然正确.
对于④,AE与平面PBC不垂直,故④不正确. 答案:①②③
7.【解析】连结AC,AB1,因为BD1⊥平面AB1C, 所以当P在B1C上时,总有AP⊥BD1, 故点P的轨迹是线段B1C. 答案:线段B1C
8.【解题指南】先证明MN⊥平面B1C1M,进而求得∠C1MN的度数. 【解析】因为B1C1⊥平面ABB1A1,MN?平面ABB1A1,所以B1C1⊥MN. 又∠B1MN是直角,所以MN⊥B1M.又B1C1∩B1M=B1, 所以MN⊥平面B1C1M.又C1M?平面B1C1M, 所以MN⊥C1M,即∠C1MN=90°.
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=.