⑦OE2+BE2=OB2;⑧S△ABC＝BC·OE;⑨△BOD是等腰三角形，⑩△BOE∽△BAC; (2)∵OD⊥BC， ∴BE＝CE=1BC=4． 2设⊙O的半径为R，则OE=OD－DE=R－2． 在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R－2)2＋42=R2．解得R＝5． ∴ ⊙ O的半径为5 例2.已知：如图等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧PC上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD?AP，连结CD． （1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由． （2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？ 解题思路：（1）△PDC为等边三角形． 理由：∵△ABC为等边三角形 ∴AC?BC， A A O B P 图① O C B P D 图② 又∵在⊙O中?PAC??DBC 又∵AP?BD ∴△APC≌△BDC． ∴PC?DC C D 又∵AP过圆心O，AB?AC，?BAC?60° 1∴?BAP??PAC??BAC?30° ∴?BAP??BCP?30°，?PBC??PAC?30° 2∴?CPD??PBC??BCP?30°?30°?60° ∴△PDC为等边三角形． （2）△PDC仍为等边三角形 理由：先证△APC≌△BDC（过程同上） ∴PC?DC ∵?BAP??PAC?60° 又∵?BAP??BCP，?PAC??PBC ∴?CPD??BCP??PBC??BAP??PAC?60° 又∵PC?DC ∴△PDC为等边三角形． 例3.(1)如图OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切⊙O于点D，连结AD交DC于点E．求证：CD=CE (2)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B’，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么? (3)若将图中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么
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解题思路：本题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力． 解答：(1)证明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90° 在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA， ∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE (2)CE=CD仍然成立． ∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F， 在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°． 连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE (3)CE=CD仍然成立． ∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF 延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90° 连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE 考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。 例1、AB是⊙O的直径，PA切⊙O于A，OP交⊙O于C，连BC．若?P?30，求?B的度数． 解题思路：运用切线的性质 . A ???PA切⊙O于A，AB是⊙O的直径， ∴?PAO?90． P O C ??P?30?，∴?AOP?60?．∴?B?1?AOP?30? 2
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例2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE?CD，垂足为E，DA平分?BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若?DBC?30，DE?1cm，求BD的长． 解题思路：运用切线的判定 （1）证明：连接OA，?DA平分?BDE，??BDA??EDA． B O ?A E D C ?OA?OD，??ODA??OAD．??OAD??EDA． ?OA∥CE． ?AE?DE，??AED?90?，?OAE??DEA?90?． ?AE?OA．?AE是⊙O的切线． （2）?BD是直径，??BCD??BAD?90． ?A E D ??DBC?30?，?BDC?60?，??BDE?120?． B O C ?DA平分?BDE，??BDA??EDA?60?．??ABD??EAD?30?． ?AD?2DE． 在Rt△AED中，?AED?90，?EAD?30，?BD?2AD?4DE． 在Rt△ABD中，?BAD?90，?ABD?30，?DE的长是1cm，?BD的长是4cm． 考查目标三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这部分内容也是历年中考的必考内容之一。学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。 例1、如图，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°. (1)求图中阴影部分的面积； (2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. 解题思路：（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=????1AB=23。 2A在Rt△AEO中，∠BAC=30°，cos30°=AE． OAE 2AE∴OA==cos30?332O=4． BF CD
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又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°． ??CD?．∴∠COD =∠BOC=60°∵AC⊥BD，∴BC．∴∠BOD=120°． ∴S阴影=nπ?OA=120π?42?16π． 36036032A法二：连结AD． ∵AC⊥BD，AC是直径，∴AC垂直平分BD。 BOF CD??CD?。∴∠BAD=2∠BAC=60°∴AB=AD，BF=FD，BC，∴∠BOD=120°． ∵BF=AF13AB=23，sin60°=， AF=AB·sin60°=43×=6。 AB22116∴OB2=BF2+OF2．即(23)2?(6?OB)2?OB2．∴OB=4．∴S阴影=S圆=π。 33法三：连结BC． ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC=90°。 ∵AB=43，∴AB43 ??8cos30?32BAAC?O∵∠A=30°， AC⊥BD， ∴∠BOC=60°，∴∠BOD=120°． F CD1216∴S阴影=120π·OA2=×4·π=π。 33360以下同法一。 （2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴2πr?1204π?4 ∴r?。 1803A ?例2.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇形． （1）求这个扇形的面积（结果保留?）． ① O ③ ② B C （2）在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与 此扇形围成一个圆锥？请说明理由． （3）当⊙O的半径R(R?0)为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．
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解题思路：（1）连接BC，由勾股定理求得： n?R21?? AB?AC?2 S?3602（2）连接AO并延长，与弧BC和?O交于E，F， A ① ② B ③ O E C n?R2EF?AF?AE?2?2 弧BC的长：l??? 1802?2?r?22 ? ?圆锥的底面直径为：2r?22F ?2?2?2，?不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥． 2n?R2??R 1802（3）由勾股定理求得：AB?AC?2R 弧BC的长：l??2?r?2?R 22R 2?圆锥的底面直径为：2r?EF?AF?AE?2R?2R?(2?2)R ?2?2?2且R?0 22R 2?(2?2)R?即无论半径R为何值，EF?2r ? 不能在余料③中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥．
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