bn? 天任启航考研 http://www.zzqihang.com.cn
【解析】按傅式级数公式,先求f(x)的傅式系数an与bn.因f(x)为偶函数,所以
1ln?f(x)sinxdx?0???(n?1,2,3,?), ??lll1ln?2ln?xdx??f(x)cosxdx an??f(x)cosl?lll0l1121?2(2?x)cosn?xdx?4cosn?xdx?xdsinn?x ?0?0?0n?212(cosn??1)sinn?xdx?????(n?1,2,3,?), ??22?0n?n?a0?2?(2?x)dx?5.
01因为f(x)?2?|x|在区间(?1?x?1)上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以
a0??n?n? f(x)?2?|x|????ancosx?bnsin2n?1?ll5?2(cosn??1) ???cosn?x
2n?1n2?254 ??22??x? ?1cos(2n?1)?x?????(?1?x?1). ?2n?1(2n?1)?1?21. ?cos0,所以,??228n?1(2n?1)n?1(2n?1)??54令x?0,有f(0)?2?0??22????111??11?1又 ?2????????2, 22?2(2n)?n?1(2n?1)4n?1nn?1nn?1?(2n?1)?3?1?21?2所以, ?2?,即 ?2?.
4n?1n86n?1n
六、(本题满分7分.)
【解析】由定积分中值定理可知,对于
?1232f(x)dx,在区间(,1)上存在一点?使得
3?1312321f(x)dx?f(?)(1?)?f(?),
33即3?2f(x)dx?f(?)?f(0).
七、(本题满分8分)
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由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点c(0?c???1),使得f?(c)?0.
【解析】设x1?1?x2?2?x3?3?x4?4??,按分量写出,则有
?x1?x2?x3?x4?1?x?x??2x?1?2334. ??2x1?3x2?(a?2)x3?4x4?b?3??3x1?5x2?x3?(a?8)x4?5对方程组的增广矩阵作初等行变换:
第一行分别乘以有??2?、??3?加到第三行和第四行上,再第二行乘以??1?、??2?加到第三行和第四行上,有
?1?0A???2??3111?1??1??1?12?1??0?3a?24?b?3??0??51a?8?5??0?1?0???0??0111?1??1?12?1?
1a2?b?1??2?2a?5?2?111?1?12?0a?10?00a?1?1??1?, ?b?0?所以,当a??1,b?0时,r(A)?1?r(A),方程组无解.即是不存在x1,x2,x3,x4使得
x1?1?x2?2?x3?3?x4?4??成立,?不能表示成?1、?2、?3、?4的线性组合；
?2ba?b?1b?当a??1时,r(A)?r(A)?4.方程组有唯一解??,,,0?,
?a?1a?1a?1?故?有唯一表达式,且???T2ba?b?1b?1??2??3?0??4. a?1a?1a?1【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：
设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵A??A?b?的秩,即是r(A)?r(A)(或者说,b可由A的列向量?1,?2,?,?n线表出,亦等同于?1,?2,?,?n与?1,?2,?,?n,b是等价向量组).
设A是m?n矩阵,线性方程组Ax?b,则 (1) 有唯一解 ? r(A)?r(A)?n.
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(2) 有无穷多解 ? r(A)?r(A)?n. (3) 无解 ? r(A)?1?r(A).
? b不能由A的列向量?1,?2,?,?n线表出.
八、(本题满分6分)
【解析】方法1：因为A为n阶正定阵,故存在正交矩阵Q,使
??1????2T?1?, QAQ?QAQ??????????N??其中?i?0(i?1,2,?n),?i是A的特征值. 因此 QT(A?E)Q?QTAQ?QTQ???E
两端取行列式得 |A?E|?|QT||A?E||Q|?|QT(A?E)Q|?|??E|?从而 |A?E|?1.
方法2：设A的n个特征值是?1,?2,?,?n.由于A为n阶正定阵,故特征值全大于0.
由?为A的特征值可知,存在非零向量?使A????,两端同时加上?,
得?A?E??????1??.按特征值定义知??1是A?E的特征值.因为A?E的特征值是
?(??1),
i?1?1,?2?1,?,?n?1.它们全大于1,根据A???i,知|A?E|??(?i?1)?1.
【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列
向量X使得AX??X成立,则称?是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.
九、(本题满分8分)
【解析】曲线y?y(x)在点P(x,y)处的法线方程为
Y?y??1(X?x) (当y??0时), y?它与x轴的交点是Q(x?yy?,0),从而
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122|PQ|?(yy?)?y?y(1?y?).
当y??0时,有Q(x,0),|PQ|?y,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程
y??(1?y?)322?1y(1?y?)122,
即yy???1?y?2.这是可降阶的高阶微分方程,且当x?1时,y?1,y??0.
令y??P(y),则y???PdPdPPdPdy?1?P2,即?,二阶方程降为一阶方程yP. 2dydy1?Py即y?C1?P2,C为常数.
22因为当x?1时,y?1,P?y??0,所以C?1,即y?1?P?1?y?, 2所以y???y?1.分离变量得 dyy?12??dx.
令y?sect,并积分,则上式左端变为
?dyy2?1??secttantdt?lnsect?tant?C
tanty2?1?C.
?lnsect?sec2t?1?C?lny?因曲线在上半平面,所以y?故 y?y2?1?0,即lny?y2?1?C?x.
??y2?1?Ce?x.
当x?1时,y?1,
?1当x前取+时,C?e,y?y2?1?ex?1,
y?y?1?2y?y2?1(y?y2?1)(y?y2?1)y2?1?e?x?1,
?1y?y2?1?1ex?1?e1?x；
当x前取?时,C?e,y?y?y?1?2y?y2?1(y?y2?1)(y?y2?1)?1y?y2?1?1e1?x?ex?1；
所以 y?
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1(x?1)(e?e?(x?1)). 2十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数?和?,否则应先根据题设条件求出?,?,再计算有关事件的概率,本题可从
2
2
2?22?()?0.8,通过查?(x)表求出?,但是注意到所求概率P(x?0)即是?()与?()???之间的关系,可以直接由?()的值计算出?(2?2??).
?N(0,1),
因为X?N(2,?2),所以可标准化得 由标准正态分布函数概率的计算公式,有
X?2?4?2P(2?x?4)??(?)??(2?2?),
2?()?P(2?x?4)??(0)?0.8.
?由正态分布函数的对称性可得到 P(x?0)??(0?2?22)??(?)?1??()?0.2.
??(2)【解析】设事件A=“掷的点和原点的连线与x轴的夹角小于这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式
?”, 4y P(A)?12SD,而 S半圆??a,
2S半圆C D O SD?S?OAC?S1?4圆1212a??a, 24A B x1212a??a114故 P(A)?2??.
122??a2
十一、(本题满分6分)
【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有
F(z)?P?Z?z??P?X?2Y?z??当z?0时,F(z)?0.
因为x?2y?z在直线x?2y?0的下方
x?2y?z??f(x,y)dxdy.
y D O z x 与x?0,y?0(即第一象限)没有公共区域, 所以F(z)?0.
当z?0时,x?2y?z在直线x?2y?0
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的上方与第一象限相交成一个三角形区域D,此即为积分区间.
F(z)??dx?0zz?x202e?(x?2y)dy??(e?x?e?z)dx?1?e?z?ze?z.
0z?0, z?0,所以Z?X?2Y的分布函数 F(z)?? ?z?z1?e?ze, z?0. ?