上海市普陀区2014年高三二模
数学（理科）试卷
考生注意： 2014.4
1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码. 2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.
3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相本卷上任何解答都不作评分依据. ．．．．．．．．．应位置，．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
i11．若复数z?（i是虚数单位），则z? .
ii2．若集合A?{y|y?tanx,0?x??4}，B?{x|x2?x?2?0}，则A?B? . 3．【理科】方程log2(x?1)?log4(x?4)?1的解x? . 4．【理科】若向量a?(1,x)，b?(2,1)，且a?b，则|a?b|? . 5．【理科】若a?0，在极坐标系中，直线??cos(???3)?2与曲线??a相切，则实数a? .
6．【理科】若偶函数y?f(x)(x?R)满足条件：f(?x)?f(1?x)，则函数f(x)的一个周期为 .
?x?sec?7．【理科】若P为曲线?（?为参数）上的动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点
y?tan??M的轨迹方程是 .
8．【理科】某质量监测中心在一届学生中随机抽取39人，对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的一部分结果，见下表:
统计组 人数 平均分 标准差 A组 B组 20 90 6 19 80 4 第11题图
根据上述表中的数据，可得本届学生方差的估计值为 (结果精确到0.1).
n??9．【理科】等比数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的正整数k，均有ak?lim(Sn?Sk)成立，则公比q? .
10．【理科】在一个质地均匀的小正方体六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方
体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数?，则E?? .
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11．【理科】如图所示，在一个(2n?1)?(2n?1)(n?N且n?2)的正方形网格内涂色,要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色.若用f(n)表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则f(n)的最小值为 .
12．【理科】若三棱锥S?ABC的底面是边长为2的正三角形，且AS?平面SBC，则三棱锥S?ABC的
体积的最大值为 .
?1247??358129131813．若aij表示n?n阶矩阵?6??10141925?????????????中第i行、第j列的元素（i、j?1,2,3,?,n），
????ann??【理科】则ann? （结果用含有n的代数式表示）.
??x2?2x,x?014．【理科】已知函数f(x)??，若不等式|f(x)|?ax?1恒成立，则实数a的取值范围
?lnx,x?0是 .
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
15. 下列命题中，是假命题的为????????????????????????????（ ） ．．．
(A)平行于同一直线的两个平面平行. (B)平行于同一平面的两个平面平行. (C)垂直于同一平面的两条直线平行. (D)垂直于同一直线的两个平面平行.
x2x22?y?1（m?1）和C2:?y2?1（n?0）有相同的焦点，分别为F1、F2,16.【理科】已知曲线C1:mn点M 是C1和C2的一个交点,则△MF1F2的形状是???????????????（ ）
(A)锐角三角形. (B) 直角三角形. (C)钝角三角形. (D)随m、n的值的变化而变化.
217. 若函数f(x)?x?x?a，则使得“函数y?f(x)在区间(?1,1)内有零点”成立的一个必要非充分条
件是????????????????????????????????????????（ ）
(A)?111?a?2. (B)??a?2. (C)0?a?2. (D)??a?0. 44418. 对于向量PAi（i?1,2,?n），把能够使得|PA1|?|PA2|???|PAn|取到最小值的点P称为Ai（i?1,2,?n）的“平衡点”. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O,延长BC至E,使得BC?CE，联结AE,分别交BD、CD于F、G两点.下列结论中，正确的是??????????????（ ）
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(A)A、C的“平衡点”必为O. (B)D、C、E的“平衡点”为D、E的中点. (C)A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一. (D)A、B、E、D的“平衡点”必为F.
A F O D G C B 第18题图 E
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的
步骤. 19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图，在xoy平面上，点A(1,0)，点B在单位圆上，?AOB??（0????） （1）【理科】若点B(?,)，求tan(3455?2??4)的值；
（2）若OA?OB?OC，四边形OACB的面积用S?表示，求S??OA?OC的取值范围.
y B O C A x
第19题图 20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
如图，已知AB是圆柱OO1底面圆O的直径，底面半径R?1，圆柱的表面积为8?；点C在底面圆O 上，且直线A1C与下底面所成的角的大小为60. （1）【理科】求点A到平面A1CB的距离；
（2）【理科】求二面角A?A1B?C的大小（结果用反三角函数值表示）.
.
21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
已知函数f(x)?2?1的反函数为y?fx?1?第20题图
(x)，记g(x)?f?1(x?1).
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（1）求函数y?2f?1(x)?g(x)的最小值；
?1（2）【理科】若函数F(x)?2f(x?m)?g(x)在区间[1,??)上是单调递增函数，求实数m的取值范围.
22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分．
已知曲线?:y2?4x，直线l经过点(0,2)且其一个方向向量为d?(1,k). （1） 若曲线?的焦点F在直线l上，求实数k的值；
（2） 当k??1时，直线l与曲线?相交于A、B两点，求|AB|的值；
（3） 当k（k?0）变化且直线l与曲线?有公共点时，是否存在这样的实数a,使得点P(a,0)关于直线
l的对称点Q(x0,y0)落在曲线?的准线上. 若存在,求出a的值；若不存在，请说明理由.
第22题图
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
用记号
?ai?0ni表示a0?a1?a2?a3???an，bn??ai?0n2i，其中i?N，n?N.
*（1）设
?(1?x)k?12nk，求b2的值； ?a0?a1x?a2x2???a2n?1x2n?1?a2nx2n（x?R）
（2）若a0，a1，a2，?，an成等差数列，求证：
??aC??(aiini?0n0?an)?2n?1；
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（3）【理科】在条件（1）下，记dn?1?取值范围.
?[(?1)bCiii?1nin]，且不等式t?(dn?1)?bn恒成立，求实数t的
普陀区高三数学质量调研卷（理）
参考答案
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.
1.?1?i； 2.(0,1]； 3.【理科】5； 4. 【理科】10； 5. 【理科】2； 6. 【理科】1等； 7. 【理科】x?y?【理科】
22113； 8. 【理科】56.； 9. 【理科】； 10. 【理科】； 11. 482412； 12. 【理科】； 13. 【理科】2n?2n?1； 52二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.
题号 答案 15 A 16 B 17 A 18 D 三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 【解】（1）【理科】由于B(?,)，?AOB??，所以cos????sin?tan?21?cos?34554?534，sin?? 55y ?2
31?5B O C A 于是tan(?2??41?tan)??x
2?1?2??3 ?1?21?tan2第19题图 （2）S??1?1?sin??sin?
由于OA?(1,0),OB?(cos?,sin?)??7分，所以OC?OA?OB?(1?cos?,sin?)
OA?OC?1?(1?cos?)?0?sin??1?cos?????9分
S??OA?OC?sin??cos??1?2sin(???4)?1（0????）
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