由于
?4????4?5?2?，所以??sin(??)?1，所以0?S??OA?OC?2?1 42420、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
【解】（1）【理科】设圆柱的母线长为l，则根据已知条件可得，
S全?2??R2?2?Rl?8?，R?1，解得l?3
因为A1A?底面ACB，所以AC是A1C在底面ACB上的射影， 所以?A1CA是直线A1C与下底面ACB所成的角，即?A1CA?60
?z 在直角三角形A1AC中，AA1?3，?A1CA?60?，AC?3.
AB是底面直径，所以?CAB??6A1 O1 .以A为坐标原点，以AB、AA1分
B1 别为y、z轴建立空间直角坐标系如图所示：则A(0,0,0)、C(33O ,,0)、 A B 22C x 是
第20题图
y
A1(0,0,3)AC?(、
B(0,2,0),于
3133,,0) ,,0),A1B?(0,2,3),CB?(?2222?31?x?y?0?n?CB?0??设平面A1CB的一个法向量为n?(x,y,z)，则?， ??22??n?A1B?0??2y?3z?039?||n?AC|3344?3 ?不妨令z?1，则n?(,,1)，所以A到平面A1CB的距离d?2222|n||所以点A到平面A1CB的距离为
3。 2（2）【理科】平面A,0,0) 1AB的一个法向量为n1?(1由（1）知平面A1CB的一个法向量n2?(33,,1) 223|n?n|3二面角A?A1B?C的大小为?，则|cos?|?12?2?
24|n1||n2|由于二面角A?A1B?C为锐角，所以二面角A?A1B?C的大小为arccos
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3 4
21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 【解】（1）由y?2x?1得x?log2(y?1)，即f?1(x)?log2(x?1)（x??1）
g(x)?f?1(x?1)?log2x（x?0） y?2f?1x2?2x?11?log2(x??2) (x)?g(x)?2log2(x?1)?log2x?log2xx1?2（当且仅当x?1时，等号成立） x由于x?0，所以x?所以当x?1时，函数ymin?log24?2 （2）【理科】由f?1(x)?log2(x?1)（x??1）得，
F(x)?2f?1(x?m)?g(x)?2log2(x?m?1)?log2x?8分
[x?(m?1)]2(m?1)2?log2[x??2(m?1)]在区间[1,??)上是单调递增函数需满F(x)?log2xx足：当x?1时，x?m?1?0，即m??2??10分
[|m?1|,??)?[1,??)?12分，即|m?1|?1??2?m?0，?13分，所以?2?m?0?14分
22、（本题满分16分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分． 【解】（1）由y?4x得，p?2，即所以k??2??3分
（2）当k??1时，d?(1,k)?(1,?1)，直线l：
2p0?2?1，所以F(1,0)，k???2，21?0x?0y?2??4分 1?1y?y??x?2将直线l与曲线?的方程联立得，?2，??5分
?y?4x2消去y并整理得，x?8x?4?0，其中??0??6分
Ox第21题
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则?于是|AB|??x1?x2?8??7分
x?x?4?12(x1?x2)2(1?k2)?[(x1?x2)2?4x1x2](1?k2)?(64?16)?2?46??9分
（3）假设存在这样的实数a,使得点P(a,0)关于直线l的对称点Q(x0,y0)落在曲线?的准线上,根据题意
?y?kx?2xy?2可得k?0，所以直线l：?，即l：y?kx?2，由于k?0，方程组?2消去y得方程
1k?y?4xk2x2?4(k?1)x?4?0，直线l与曲线?有公共点，故??16(k?1)2?16k2?0，解得k?- 7 -
1，所以2
0?k?1??11分 2x0?a?y0?k??2?2?2点P(a,0)与Q(x0,y0)关于直线l：y?kx?2对称，则???12分 得
y1?0???k?x0?a1a(1?k2)?4ka(1?k2)?4k??1，x0?（0?k?）??13分，当点Q落在曲线?的准线x??1上时，
21?k21?k2114(k?)k?k2?4k?12，即a?1??2??14分 所以a??1?2224k?1k?1k?1114k?11时，a?1；当0?k?时，??(k?)??1?2，解得?1?a?1
11221?a2k?k?22所以?1?a?1，所以存在这样的实数a，满足题设条件。?16分
当k? 23、（本题满分18分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分） 【解】（1）将n?2代入
234?(1?x)k?12nk?a0?a1x?a2x2???a2n?1x2n?1?a2nx2n中得，
?(1?x)k?14k?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4，??1分
其中a0?a1?a2?a3?a4?2?4?8?16?30，??2分
a0?a1?a2?a3?a4?0??3分，所以b2?a0?a2?a4?15??4分
（2）设等差数列的通项公式为an?a0?nd，其中d为公差??5分
则6分
kk?112n因为kCn?nCn?1??7分，所以Cn?2Cn??nCn?n(Cn?1?Cn?1???Cn?1)??8分
01n?1??aC??aiini?0n012n01n12n?a1Cn?a2Cn???anCn?a0(Cn?Cn???Cn)?d(Cn?2Cn??nCn)?
所以
??aC??a?2iinnn0?nd?2n?1?(2a0?nd)?2n?1?(a0?an)?2n?1??10分
2(1?4n)??2?4n?2??11分
?1ni?0（3）【理科】令x?1，则
?ai?0i2ni?2?2?2???2232n x??1，则
?[(?1)ai]?0??12分，所以bn??a2i?i?0i?02n1(2?4n?2)?4n?1??13分 2- 8 -
0123n根据已知条件可知，dn?Cn ?(4?1)Cn?(42?1)Cn?(43?1)Cn???(?1)n(4n?1)Cn0123n01234n?[Cn?Cn(?4)?Cn(?4)2?Cn(?4)3???Cn(?4)n]?[Cn?Cn?Cn?Cn?Cn???(?1)nCn] ?(1?4)n?(1?1)n?(?3)n，所以dn?(?3)n?1??14分
将bn?4n?1、dn?(?3)n?1代入不等式t?(dn?1)?bn得，t?[1?(?3)n]?4n?1??15分
54n1n；??16分；当n为奇数，t??[()?()]，33341115所以t??[()?()]??1；??17分，综上所述，所以实数t的取值范围是[?1,]。
333当n为偶数时，t?()?()，所以t?()?()?nn2243134313
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