第2章 控制系统的数学模型 ....................................................................................................... 1 第3章 线性系统的时域分析法 ................................................................................................... 7 第4章 线性系统的根轨迹法 ..................................................................................................... 15 第5章 线性系统的频域分析法 ................................................................................................. 26 第6章 线性系统的校正方法 ..................................................................................................... 38 第7章 线性离散系统的分析与校正 ......................................................................................... 46 第8章 非线性控制系统分析 ..................................................................................................... 59 第9章 线性系统的状态空间分析与综合 ................................................................................. 70
第2章 控制系统的数学模型
例1 设齿轮系如图2-1所示。图中J1和J2为齿轮和轴的转动惯量，f1和f2为齿轮轴与轴承的粘性摩擦系数，?1和?2为各齿轮轴的角位移，T为电动机的输出转矩，T1和T2分别为轴1传送到齿轮上的转矩和传送到轴2上的转矩，齿轮1和齿轮2的减速比为i??1。如果不考虑齿轮啮合间隙?2和变形，试求输入量是T转矩，输出是转角?2的运动方程。
?2?1T12T2J1T1J2?2
?1图2-1
解:
1. 由已知，齿轮1和齿轮2的减速比为 i??1 （2-1） ?2在齿轮传动中，两个啮合齿轮所做的功相同，因此有
T1?1?T2?2 T2??1T1?iT1 （2-2） ?2根据牛顿第二定律，齿轮1的运动方程为
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d2?1d?1 J1 （2-3） ?T?T?f11dtdt2齿轮2的运动方程为
d2?2d?2 J2 （2-4） ?T?f222dtdt由（2-1）、（2-2）、（2-3）和（2-4）式，消去中间变量T1、T2、?1，得系统的运动方程为
J2d2?2fd?1(J1?2)2?(f1?22)2?T
idtidti例2 求取图2-2所示电路的传递函数
U3(s)。图中K为放大器的增益。 U1(s)CR1u1R2u2Riu3
图2-2
解:
考虑放大器对RC电路的负载效应，即RC电路的输出端电阻应为R2与Ri的并联。即
R'2?R2Ri
R2?Ri利用复阻抗的概念，RC电路的传递函数为
U2(s)R'2R'2R1Cs?1 ???1U1(s)R1?R'2R1R'2R'2?R1//Cs?1sCR1?R2RC电路与放大器串接后的传递函数为
U3(s)U3(s)U2(s)R'2R1Cs?1?????K U1(s)U2(s)U1(s)R1?R'2R1R'2Cs?1R1?R2例3 已知系统的传递函数为
C(s)2?2 R(s)s?3s?2?(0)?0，试求系统的单位阶跃响应。 系统初始条件为C(0)??1C解:
考虑到传递函数是在零初始条件下定义的，故有系统的微分方程为
??(t)?3c?(t)?2c(t)?2r(t) c将微分方程两边取拉氏变换，得到变换方程
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?(0)?3sC(s)?3C(0)?2C(s)?2R(s) s2C(s)?sC(0)?C1?(0)?0，变换方程可简化为 ，及C(0)??1Cs2s2C(s)?3sC(s)?2C(s)??s?3
s显然，通过拉氏变换将微分方程变成了代数方程。解变换方程，求出输出变量的拉氏变换表达
由已知条件，r(t)?1(t)R(s)?式
?s2?3s?2 C(s)?s(s2?3s?2)C(s)是变量s的有理分式函数，可用部分方式法，将C(s)的分母多项式进行因式分解，C(s)分
解为部分分式
CC?s2?3s?2C1C(s)???2?3
s(s?1)(s?2)ss?1s?2待定系数C1、C2、C3可由下式求出
?s2?3s?2C1?lims??1
s?0s(s?1)(s?2)?s2?3s?2C2?lim(s?1)???4
s??1s(s?1)(s?2)?s2?3s?2C3?lim(s?2)??2
s??2s(s?1)(s?2)故有
142 ??ss?1s?2将输出的拉氏变换式进行拉氏反变换即可得到微分方程的解，即系统的单位阶跃响应
142c(t)?L?1[C(s)]?L?1[??]?1?4e?t?2e?2t
ss?1s?2例4 分别用结构图等效变换和梅逊公式求图2-3所示系统的传递函数。
C(s)?R(s)G1(s)C(s)?G2(s)?G3(s)图2-3
解：
用梅逊公式求取系统传递函数。
由图2-3知，系统有1个回路，有2条前向通路。因此有
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L1?G2(s)G3(s)
??1??La?1?G2(s)G3(s)
P1?G1(s)P2??G2(s)根据梅逊公式，系统的传递函数为
?1?1 ?2?1C(s)?R(s)例5 系统微分方程组如下：
?P?kk?12k??G1(s)?G2(s)
1?G2(s)G3(s)x1(t)?r(t)?c(t)?n1(t) x2(t)?K1x1(t) x3(t)?x2(t)?x5(t)
Tdx4(t)?x3(t) dtx5(t)?x4(t)?K2n2(t)
d2c(t)dc(t)??K0x5(t) dt2dt式中K0、K1、K2、T均为常数。试建立以r(t)、n1(t)及n2(t)为输入量、c(t)为输出量的系统动态结构图。
解:
1. 在零初始条件下，对微分方程组进行拉氏变换，得到变换方程组
X1(s)?R(s)?C(s)?N1(s) X2(s)?K1X1(s) X3(s)?X2(s)?X5(s)
X4(s)?X3(s) TsX5(s)?X4(s)?K2N2(s)
K0X5(s)
s(s?1)2. 根据变换方程组画出各子方程结构图2-4。
C(s)?
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N2(s)N1(s)R(s)X1(s)K1X(s)1?K2X2(s)X2(s)X3(s)X3(s)X5(s)图2-4
1TsX4(s)X4(s)X5(s)1X5(s)s(s?1)C(s)C(s)
3. 按照系统中各变量的传递顺序，把相同的量连起来，便可得到系统的结构图，如图2-5所示。
N2(s)N1(s)R(s)X1(s)X2(s)X(s)3K2K1?C(s)?X5(s)1TsX4(s)X5(s)1s(s?1)C(s)
图2-5
例5 系统信号流图如图2-6所示，试求传递函数
y6yy、2和5。 y1y1y2by1ay2c?gdy3y4e?hy5fy6?i图2-6
解:
由图2-6可以看出，共有4个回路，一对两两不接触回路，故有
L1??cg，L2??eh，L3??cdei，L4??bei
??1??La??LbLc
?1?L1?L2?L3?L4?L1L2?1?cg?eh?cdei?bei?cgeh
1. 求传递函数
y6。 y1第 5 页 共 76 页