1. 设生存函数为s?x??1? (1)趸缴纯保费ā30:10的值。
1x100 (0≤x≤100)，年利率i=0.10，计算(保险金额为1元)：
(2)这一保险给付额在签单时的现值随机变量Z的方差Var(Z)。
s(x)?1?x100vtt?tpx??x?t??100s?(x?t)s(x)t?1100?xA30:10?1?100px??x?tdt?1?2?1?1dt?0.092???1.1?70
2100Var(Z)?2A30:10?(A30:10)?1?100v2ttpx??x?tdt?0.092???1?12dt?0.092?0.055???1.21?70t 2． 设年龄为35岁的人，购买一张保险金额为1 000元的5年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡的保单年度末给付，年利率i=0.06，试计算： (1)该保单的趸缴纯保费。
(2)该保单自35岁～39岁各年龄的自然保费之总额。 (3)(1)与(2)的结果为何不同？为什么？
4（1）法一：1000A35:5?1?vk?0k?1kpxqx?k?1l351.06(d35?d361.062?d371.063?d381.064?d391.065)
查生命表l35?979738,d35?1170,d36?1248,d37?1336,d38?1437,d39?1549代入计算：
41000A35:5?1?k?01vk?1kpxqx?k?1l351.06?M40(d35?d361.062?d371.063?d381.064?d391.065)?5.747
法二：1000A35:5?1000M35D35M?M
查换算表1000A35:5?100013540D3513590.22?12857.61?1000??5.747
127469.031000p35?1000A35:1?10001000p36?1000A36:1?10001000p37?1000A37:1?10001000p38?1000A38:1?10001000p39?1000A39:1?100011111C35D35C36D36C37D37C38D38C39D39143.58?1000??1.126127469.03144.47?1000??1.203120110.22145.94?1000??1.29113167.06 148.05?1000??1.389106615.43150.55?1000??1.499100432.54（2）
1000(p35?p36?p37?p38?p39)?6.457 6
（3）
A35:5?A35:1?vp35A36:1?v?2p35A37:1?v?3p35A38:1?v?4p35A39:11111213141
?A35:5?p35?p36?p37?p38?p39 3. 设Ax?0.25, Ax?20?0.40, Ax:20?0.55, 试计算： （1） Ax:20 。
1 （2） Ax:10 。改为求Ax:20
11??Ax?Ax:20?Ax:20?Ax?20?1 1A?A?A?x:20x:20x:20???0.25?Ax:20?Ax:20?0.4?? 1 1??0.55?Ax:20?Ax:20??Ax:20?0.05?? 1A??x:20?0.511 11 1 4． 试证在UDD假设条件下： (1) Ax:n?1i?Ax:n 。
11 (2) āx:n?Ax:n?i?Ax:n 。
1 5． (x)购买了一份2年定期寿险保险单，据保单规定，若(x)在保险期限内发生保险责任范围内的死亡，则在死亡年末可得保险金1元，qx?0.5,i?0,Var?z??0.1771 ，试求qx?1。 6．?已知，A76?0.8,D76?400,D77?360,i?0.03,求A77 。
7． 现年30岁的人，付趸缴纯保费5 000元，购买一张20年定期寿险保单，保险金于被保险人死亡时所处保单年度末支付，试求该保单的保险金额。 解：5000?RA30:20?R?其中
19?k?1k15000A30:201
A30:20?1?vk?0p30q30?k?1d30?50?vk?0k?1l30?kd30?kl30l30?k1(1.06)?1l30??vk?0k?1d30?k1d49)
?1l301.06M30(1(1.06)2d31?3d32???(1.06)20 ??MD30查（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表中数据l30,d30,d31,d32?d49带入计算即可，或者i=0.06以及（2000-2003）男性或者女性非养老金业务生命表换算表M30,M50,D30带入计算即可。 例查（2000-2003）男性非养老金业务生命表中数据
7
A30:20?119846351.06(1867?1(1.06)2917?1(1.06)3977???1(1.06)203144) ?0.017785596R?281126.3727
8． 考虑在被保险人死亡时的那个整年数，j是死亡那年存活的完整
1m1m年时段末给付1个单位的终身寿险，设k是自保单生效起存活的完
年的时段数。
(m) (1) 求该保险的趸缴纯保费 Ax。
(2) 设每一年龄内的死亡服从均匀分布，证明Ax(m)?ii(m)Ax 。
9． 现年35岁的人购买了一份终身寿险保单，保单规定：被保险人在10年内死亡，给付金额为15 000元；10年后死亡，给付金额为20 000元。试求趸缴纯保费。 趸交纯保费为15000A35:10?2000010|A35 其中
9911A35:10?1?k?0vk?1kp35q35?k?1d35?45?k?0vk?1l35?kd35?kl35l35?k1(1.06)?1l35??k?0vk?1d35?k1d44)
?1l351.06M35(1(1.06)2d36?3d37???(1.06)10 ?70?MD35v1k?1k?13590.22?12077.31127469.0370?0.011871l351370A35?10|1?k?10p35q35?k?111?k?10vk?1l35?kd35?kl35l35?k?1?k?10vk?1d35?k1(1.06)71 ?l35(1.06)M45(d45?1(1.06)12d46?(1.06)d47???d105)
?D35?12077.31127469.031?0.094751所以趸交纯保费为15000A35:10?2000010|A35?178.05?1895?2073.05
10．年龄为40岁的人，以现金10 000元购买一份寿险保单。保单规定：被保险人在5年内死亡，则在其死亡的年末给付金额30 00元；如在5年后死亡，则在其死亡的年末给付数额R元。试求R值。
11． 设年龄为50岁的人购买一份寿险保单，保单规定：被保险人在70岁以前死亡，给付数额为3 000元；如至70岁时仍生存，给付金额为1 500元。试求该寿险保单的趸缴纯保费。 该趸交纯保费为：3000A50:20?1500A50:20 其中
1 1 8
1919k?1kA50:20?1?vk?0p50q50?k?1d50?70?vk?0k?1l50?kd50?kl50l50?k1(1.06)?1l5019?vk?0k?1d50?k1d69)
?1l501.06M50(1(1.06)2d51?3d52???(1.06)200 ??MD50A50:20?v ? 170p50?v7070l70l50 D70D50
查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
12． 设某30岁的人购买一份寿险保单，该保单规定：若(30)在第一个保单年计划内死亡，则在其死亡的保单年度末给付5000元，此后保额每年增加1000元。求此递增终身寿险的趸缴纯保费。
该趸交纯保费为：4000A30?1000(IA)30?4000其中
7575k?1k M30D30?1000R30D30
A30??vk?0p30q30?k?1d30??vk?0k?1l30?kd30?kl302l30?k1?1l30375?vk?0k?1d30?k1(1.06)76 ?1l301.06M30(1(1.06)d31?(1.06)d32???d105)
?D307575k?1k(IA)30? ?(k?1)vk?0p30q30?k?2(1.06)2?(k?1)vk?0k?1l30?kd30?kl30l30?k?1l307675?(k?1)vk?0k?1d30?k ?1l301.06R30D30(1d30?d31?3(1.06)3d32???76(1.06)d105)
?查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
13． 某一年龄支付下列保费将获得一个n年期储蓄寿险保单：
(1)1 000元储蓄寿险且死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为750元。
(2)1 000元储蓄寿险，被保险人生存n年时给付保险金额的2倍，死亡时返还趸缴纯保费，这个保险的趸缴纯保费为800元。
若现有1 700元储蓄寿险，无保费返还且死亡时无双倍保障，死亡给付均发生在死亡年末，求这个保险的趸缴纯保费。
9
解：保单1)精算式为1000Ax:n?750Ax:n?1750Ax:n?1000Ax:n?750 保单2)精算式为
Ax:n? 1000111 180A0x:n? 1110A00?:xn 118A0:x0n?12A0:00?xn 1 800求解得Ax:n?7/17,Ax:n?1/34，即
1700Ax:n?1700Ax:n?1700Ax:n?750
1 1 14． 设年龄为30岁者购买一死亡年末给付的终身寿险保单，依保单规定：被保险人在第一个保单年度
内死亡，则给付10 000元；在第二个保单年度内死亡，则给付9700元；在第三个保单年度内死亡，则给付9400元；每年递减300元，直至减到4000元为止，以后即维持此定额。试求其趸缴纯保费。
15. 某人在40岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付1元保险金。其中，给定lx?110?x,0≤x≤110。利息力δ=0.05。Z表示保险人给付额的现值，则密度fx?0.8?等于（ ） A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36
Z?v?t?TlnZlnv
?lx?tlxfT(t)?tpx?x?t??S?(x?t)S(x)??1701?27zfZ(z)?fT(g(z))g?(z)??fZ(0.8)?0.3611/z70lnv?70?z
16. 已知在每一年龄年UDD假设成立，表示式
?IA???IA?xxA?( )
A.
i???1d2 B.
1?1?i??2
C. 解：
?? D.
i?i???1? ????(IA)x?(IA)xAx?E(?T?1?v)?E(Tv)TTE(v)E((1?S)v)E(v)SST?E((1?S)vE(vsK?SK?S))1(T?K?S) ???10(1?s)vds
?1d??10vdss?
10