17. 在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )
A. pxqxv?b?e? B. pxqxv?b?e? C. pxqxv解：
P(Z?bv)?qx,P(Z?ev)?pxP(Z222222?b2?e2? D. v?b22qx?epx?
2?bv)?qx,P(Z222?ev)?px22E(Z)?bvqx?evpxE(Z)?bvqx?evpxVar(Z)?E(Z)??E(Z)??bvqx?evpx??bvqx?evpx??vqxpx(b?e)22222222222222
第五章：年金的精算现值
练 习 题
1． 设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e精算现值 ax 。
??0?0.015t(t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算
ax??1?vt?fT(t)dt?2???01?e?0.05t0.050.015?e?0.015tdt?15.38
2．设 ax?10, ax?7.375, Var?aT（1）???50。试求：
；（2）āx 。
??1??a?Axx??1?10??Ax2??221?2?a?A?1?14.75??Axx??x??121222?VaraT??(A?(A))50?(A?(A)) xxxx22?????????0.035???Ax?0.65?2?Ax?0.48375
3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。
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4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。
???R解：2000a23:36???R?a37|23??2000a23:36??a37|23
其中
3535kk??a?23:36?vk?0p23??vk?0kl23?kl23?11l23235?vk?0kl23?k1(1.06)3 ?1l23(l23?11.06l24?(1.06)l25?l26???1(1.06)35l58) ?N23?N59D2337378237|??23?a??23?a??a?v23:3782??60?p23ak37??60E23a82
??k?37v1l23kkp23??k?37vl23?kl23?11l232?k?37vl23?k1(1.06)3k ?(l60?11.06l60?(1.06)l62?l63???1(1.06)55l105) ?N60D23查生命表或者相应的换算表带入计算即可。
习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。
（1） 终身生存年金。
??351000*12a(12)??35??(12)] ?12000[?(12)a其中
d?i1?i(12)?0.05660377412??i1???12??(12)?1?i?i12(12)?0.058410606??d1???12???1?d?did(12)?0.058127667i?ii(12)(12)(12)?(12)?i(12)d(12)?1.000281033,?(12)?d?0.46811975 12
7171kk??35?a?vk?0p35??vk?0kl35?kl35l36??1l23171?vk?02kl23?k1(1.06)3 ?1l35(l35?11.06(1.06)l37?l38???1(1.06)70l105)
?N35D35若查90-93年生命表换算表则
??35?aN35D35?1985692126513.8?15.695458
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。
(12)(12)??55?1解：250*12a55?250*12(a12??55??(12)?1)?250*12[?(12)a12]
其中
d?i1?i(12)?0.05660377412??i1???12??(12)?1?i?i12(12)?0.058410606??d1???12???1?d?did(12)?0.058127667i?ii(12)(12)(12)?(12)?71i(12)d(12)?1.000281033,?(12)?71d?0.46811975??55?a?vk?0kkp55??vk?0kl35?kl35l36??1l23171?vk?02kl23?k1(1.06)3 ?1l35(l35?11.06(1.06)l37?l38???1(1.06)70l105)
?N35D35
6． 在UDD假设下，试证： (1)
n|??xa(m)??(m)n|??x???m?nEx 。 a???????m?(1?nEx) 。 ??(m)a (2) ax:nx:n??? （3）ax:n?ax:n
(m)(m)(m)1m(1?nEx) 。
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7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。
（1）解：1200aN3130?D
30（2）1000a(2)30?1000(??a(2)30?12)?1000[?(2)a??35??(2)?12] 其中
d?i1?i?0.056603774?(2)?1?i?2??1?i?i(2)?0.059126028?2??(2)2?1?d???1?d?d(12)?0.057428276 ?2??(2)?idi(2)d(2)?1.000212217?(2)?i?i(2)i(2)d(2)?0.257390809??aN3030?D
30
（3）1000a(4)(430?1000(??a)30?14)?1000[?(4)a??30??(4)?14] 其中
d?i1?i?0.056603774?(4)4?1?i???1?i?i(4)?0.058695385?4??(4)4?1?d??4??1?d?d(4)?0.057846554 ??(4)?idi(4)d(4)?1.000265271i?i(4)?(4)?i(4)d(4)?0.384238536??a030?N3D
30（4）1000a(12)30?1000(??a(12)30?112)?1000[?(12)??a30??(12)?112]
其中
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d?i1?i(12)?0.05660377412??i1???12??(12)?1?i?i12(12)?0.058410606
?1?d?d(12)??d1???12???0.058127667i?ii(12)(12)(12)?(12)?idi(12)d(12)?1.000281033,?(12)?d?0.46811975??30?aN30D30
8． 试证：
??x (1)?a(m)??ii(m)ax ax:n 。
??? (2)?ax:n(m)?(m)??x (3) limam??(m)?ax 。 12??x? (4) ax?a 。
9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64
岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。
??x?10， 10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 a2??x?6，i?a124 ，求Y的方差。
11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精
算现值。
12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。
???17.287，Ax?0.1025。已知在每一年龄年UDD假设成立， 则a??x是（ ） 13. 给定?a?(4)(4) A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82
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