初中数学七年级上册
第一章 有理数
1.1 正数与负数
在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数.
与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数（根据需要，有时在正数前面也加上“+”）.
【说明】1.有理数由“符号”和“数值”两部分组成.（符号问题是我们在今后的学习中经常忘记的问题.）
2.正数前面的符号可以省略，负数前面的符号不能省略.
3.正数大于0，负数小于0，正数大于负数. 4.0既不是正数，也不是负数.
5.正、负数通常表示相反意义的量，这些量包括：向东与向西；收入与支出；盈利与亏损；（温度）零上与零下；（水位）上升与下降；高于与
【例1】下列说法不正确的是（ ） A．0小于所有正数 B．0大于所有负数 C．0既不是正数也不是负数 1.2
??正整数??整数?0???负整数有理数?? ?正分数?分数?? ??负分数?低于（水平面）；（出口）增长与减少??例如：向东走2米，记作：+2米；那么向西走3米，记作—3米.
6.用正负数表示加工允许误差 例如：①图纸
0.2上注明一个零件的直径是?30??0.3mm，表示零件
的直径标准是30mm，但是，在生产的过程中，由于生产工艺存在的误差，因此直径可以比30mm大0.2mm，也可以比30mm小0.3mm.即零件的直径在29.7mm~30.2mm之间都合格.但在这个范围以外的就不合格了.
D．0没有绝对值
??正整数有理数
正有理数???正分数1.2.1 有理数 ??有理数?0?负整数?负有理数????负分数?
有理数的概念：整数和分数统称有理数.
【说明】1.整数分为正整数、0、负整数.
1
2.分数分为正分数、负分数.
13.无限循环小数是有理数，它可以化成分数.如0.333?=
3 4.无限不循环小数是无理数，如：π.
5.没有最大的有理数，也没有最小的有理数. 6.最大的负整数是-1，最小的正整数是1。
7.几个常见的概念：非负数：指正数和零； 非正数：负数和零；
【例2】在﹣22，（﹣2）2，﹣（﹣2），﹣|﹣2|中，负数的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
1.2.2 数轴
规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴；
【说明】1.数轴有三要素：原点、正方向、单位长度。
2.数轴的性质：
①数轴上的点与有理数一一对应关系；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
③数轴上的点表示的数从左往右依次增大，从右往左依次减小。
④数轴上到原点的距离相等的点有2个，一个在原点左边，一个在原点右边，他们
互为相反数.
4.利用数轴比较数的大小：数轴上的点表示的数，右边的总比左边大. 5.数轴上点的移动用数形结合的思维方法，通过画图分析，解决问题
1.2．3 相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。或者说：如果两个数只有符号不同，那么其中一个数
就叫另一个数的相反数；
【说明】1.正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0.
2.相反数的代数意义：互为相反数的两个数相加，和为0.
3.相反数的几何意义：互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的
距离相等.
2
4.相反数的读法：-(-2)读作负2的相反数.从数轴上看-2的相反数是2，因此-(-2)=2. 5.一般地，数a的相反数是-a.
【例3】若两个数的和为正数，则这两个数（ ）
A．至少有一个为正数 B．只有一个是正数 C．有一个必为0
1.2.4 绝对值
在数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值.
【说明】1.几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离.
2.代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的
相反数，可用字母a表示如下：
(a?0)?a?a??0(a?0)
??a(a?0)?D．都是正数
即： 如果a＞0，那么a=a；如果a＜0，那么a=-a；如果a=0，那么a=0.
3.绝对值等于a（a≠0）的数有两个，一个在原点左边，一个在原点右边，它们互为相
反数.例如：|a|=2，则a?2或a??2（a??2）.
4.|a|是重要的非负数，即|a|≥0；
5.理解：
aa?1?a?0 ；
aa??1?a?0；
6.两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 7.理解几个特殊的绝对值所表示的意义：
【例4】 |x-2|+|y-3| = 0， 则xx+yy = .
【例5】 ﹣1的相反数是 ，倒数是 ，绝对值是 ．
1.3 有理数的加减法 1.3.1 有理数的加法
加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，
取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；③一个数同0相加，仍得这个数。
加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.
用字母表示：a?b?b?a. 加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
3
用字母表示：( a+b ) +c = a + (b +c).
1.3.2有理数的减法
几个正数或负数的和称为代数和．加减混合运算可以统一为加法运算，写成代数和的形式.例
如：a?b?c?a?b?(?c).a?b?c可以读作：a加b减c，也可以读作：a，b，-c的代数和.有理数加减混合运算：先把减法变成加法，再按有理数加法法则进行运算.
1.4 有理数的乘除法：先确定符号 1.4.1 有理数的乘法
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0. 倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数.若ab=1，则a和b互为倒数.
几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数. 乘法运算律：
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等.用字母表示为：ab=ba.
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.用字母表示
为：(ab)c=a(bc).
乘法交换律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.用
字母表示为：a(b+c) =ab+ac.
【说明】1.常见错误仍是符号问题，做题时，先定符号，再定值.
2.求一个数的倒数的方法：①求一个分数的倒数，就是把这个分数的分子、分母颠倒位置. ②求一个整数的倒数：可以把整数看成是分母为1的分数，再把分子、分母颠倒位置. ③带分数要先画成假分数，再将分子、分母颠倒位置. 1.4.2 有理数的除法
除法法则：除以一个数不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0. 【说明】1.除法法则可以把除法转化为乘法.
【例5】计算：（﹣+
4
）×（﹣36）
1.5 有理数的乘方 1.5.1 乘方
求几个相同因数a的运算叫做乘方，记做“an”.
an表示相同的因数，n叫做指数，表示相同因数的个数，
其中a叫做底数，表示的意义是n
个a相乘的积，不是n乘以a，乘方的结果叫做幂.
【说明】1.负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数.用字母表示：若a＜0，则a2n＞0；a2n-1＜0（n是正整数）.
2.正数的任何次方都是正数，0的任何正整数次幂都是0. 用字母表示：若a＞0，则an＞0；0n=0（n是正整数）. 3.互为相反数的两个数，偶次幂相等，奇次幂仍互为相反数. 用字母表示为：a2n=(-a)2n(n是正整数)；a2n-1=-(-a)2n-1(n是正整数).
有理数的混合运算的运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行. 【例6】计算（﹣1）3﹣（1﹣7）÷3×[3﹣（﹣3）2]．
1.5.2 科学记数法
把一个大于10的数表示成a×10n次方的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），
使用的就是科学记数法.
【说明】1.a的取值范围是： 1≤a＜10. 2.n比整数位数小1.
3.采用移动小数点儿的方法来确定a和n的值比较好,具体方法是：将小数点儿向左
移动，小数点的位置移到它的前面只有1位整数为止，小数点儿移动了几位，n就等于几.将小数点儿后面的0去掉，剩下的部分就等于a.
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