江苏省启东中学2011-2012学年度第一学期期末考试
高二数学试卷
注意事项：
1、本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题），解答题（第15～第２０题）两部分。本试卷满分160分，考试时间120分钟； 2、请将试题的答案写在答题纸的规定位置，写在其它区域无效，考试结束后，交回答题纸。
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）请将答案填在答卷相应的横线上。 1、复数z?(1?i)i的实部是 ☆ ；—1
22、写出命题：“?x?R，使x?2x?a?0”的否定为 ☆ ；
?x?R，使x2?2x?a?0[来源:学科网ZXXK]
2x?8y的焦点坐标为 ☆ ；?0,2? 3、抛物线
4、函数fx＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________
32?f(x)?x?sinxf(x)?3x?cosx 5、函数的导函数是 ☆ ；
6、已知|z?3?4i|?2，则|z|的最大值为___________7
7、已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x－3y = 0上，且被直线y＝x截得的弦AB长为27 ，
则圆的方程为
??????????????????8、已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足|MN|?|MP|?MN?NP ＝0，则动点P（x，y）的轨迹方程为
229、已知a，b，c均为实数，b?4ac?0是ax?bx?c?0的 条件
（填“充分不必要”、 “必要不充分” 、 “充要” 、“既不充分也不必要”中的一个）。 既不充分也不必要[来源:Zxxk.Com] y 4.5 l
10、如图，函数y?f(x)的图象在点P处的切线是l， 9?则f(2)?f(2)= ☆ ．8
O 2 4 y=f(x) x (第11题图)
x2y2??1911．如图，把椭圆16的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的
上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点， 则
PF?P2F?P13F?P4F?P5F?P6F?P7F? .
[来源:学§科§网]
12、已知△ABC中，BC=2, AB=2AC,则三角形面积的最大值为
x2y2?2?1(a?0，b?0)2FFab13、已知双曲线的左、右焦点分别为1，2，P是准线上一点，
且PF1?PF2，
PF1?PF2?4ab，则双曲线的离心率是 ☆
3．
2f(x)?mx?lnx?2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围 ☆ ；14、已知函数
1[,??)2
二、解答题（本大题6小题，共90分。解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
?2x?2?M??x?1?2N?xx?(a?8)x?8a?0x?3??，15．设，命题p:x?M，命题
??q:x?N．
（Ⅰ）当a??6时，试判断命题p是命题q的什么条件；
（Ⅱ）求a的取值范围，使命题p是命题q的一个必要但不充分条件． 15、解：
M??xx??3或x?5?，
N??x(x?8)(x?a)?0?．
． （2分）
（Ⅰ）当a??6时，
N??x6?x?8??N?M，?当x?N时，有x?M，但x?M时不能得出x?N．
因此，命题p是命题q的必要但不充分条件．（7分） （Ⅱ）当a??8时，
N??x8?x??a?，有N?M，满足命题p是命题q的必要但不
充分条件． （10分） 当a??8时，
N??x?a?x?8?，要使N?M，须?a?5，即?8?a??5．（12分）
当a??8时，N??8?，满足命题p是命题q的必要但不充分条件． 因此，a的取值范围是a??5． （15分）
2216..已知命题p：方程ax?ax?2?0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足2x不等式?2ax?2a?0，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．
解:由a2x2?ax?2?0，得(ax?2)(ax?1)?0，显然a?0?x???x????1,1?,故|21或x?aa21|?1或||?1,?|a|?1aa“只有一个实数满足x2?2ax?2a?0”.即抛物线y?x2?2ax?2a与x轴只有一个交点，???4a2?8a?0.?a?0或2,?命题\p或q为真命题\时\a|?1或a?0\?命题\P或Q\为假命题?a的取值范围为?a|?1?a?0或0?a?1?
317．如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为2，且经过点M(4,1). 直
线l:y?x?m交椭圆于A,B两不同的点. (1)求椭圆的方程;(2)求m的取值范围;(3)若直线l不过点M,求证:直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形.
y M O B l x A
x2y23解:(1)设椭圆方程为2?2?1,因为e?,所以a2?4b2,2ab161又椭圆过点M(4,1),所以2?2?1,解得b2?5,a2?20,abx2y2故椭圆方程为??1.205………………5分
x2y2(2)将y?x?m代入??1并整理得5x2?8mx?4m2?20?0.20522??(8m)?20(4m?20)?0,得?5?m?5. 10分 ??????
(3)设直线MA,MB斜率分别为k1和k2,只要证k1?k2?0.8m4m2?20设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1?x2??,x1x2?. 55y?1y2?1(y1?1)(x2?4)?(y2?1)(x1?4)k1?k2?1??x1?4x2?4(x1?4)(x2?4)分子?(x1?m?1)(x2?4)?(x2?m?1)(x1?4)?2x1x2?(m?5)(x1?x2)?8(m?1)2(4m2?20)8m(m?5)???8(m?1)?0,55因此MA,MB与x轴所围的三角形为等腰三角形.
2f(x)?x?bx?c为偶函数，曲线y?f(x)过点(2,5，)g(x)?(x?a)f(x) 18、已知．
??????12分
??????15分
（Ⅰ）求曲线y?g(x)有斜率为0的切线，求实数a的取值范围； （Ⅱ）若当x??1时函数y?g(x)取得极值，确定y?g(x)的单调区间．
2f(x)?x?bx?c为偶函数,故f(?x)?f(x即有) ?解: （Ⅰ）
(?x)2?b(?x)?c?x2?bx?c 解得b?0
又曲线y?f(x)过点(2,5,)得2?c?5,有c?1[来源:Zxxk.Com]
32'2g(x)?(x?a)f(x)?x?ax?x?ag(x)?3x?2ax?1,?曲线y?g(x)有斜?从而'2g率为0的切线，故有(x)?0有实数解.即3x?2ax?1?0有实数解.此时有
2??4a2?12≥0解得
???a???,?3????3,?? 所以实数a的取值范围:a???,?3???3,??
'gy?g(x)x??1（Ⅱ）因时函数取得极值,故有(?1)?0即3?2a?1?0,解得a?2
????'2'g(x)?3x?4x?1?(3x?1)(x?1)g(x)?0,得又 令
x1??1,x2??13[来
源:Zxxk.Com]
当x?(??,?1)时, g'(x)?0,故g(x)在(??,?1)上为增函数
x?(?1,?1)(?1,?1)当3时, g'(x)?0,故g(x)在3上为减函数 x?(?1,??)1当3时, g'(x)?0g(x)(?,??),故在3上为增函数
19、（本题满分16分）
已知：如图，圆O：
x2?y2?2交x轴于A，B两点，曲线C是以2AB为长轴，离心率为2的椭圆，其左焦点为Ｆ，若Ｐ是圆O上
一点，连结PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Ｑ。
（1）求椭圆的标准方程； （2）若点P的坐标为（1，1）， ①求线段PQ的长；
②求证：直线PQ与圆O相切；