如图所示的正方形网格由24个电阻r0=8Ω的电阻
丝构成，电池电动势ε=6.0 V，内电阻不计，求通过电池的电流．
专题19-例2
解:电源外电路等效电阻:
R?rAB0?2.5r02.5r?5r400??0?r077通过电源的电流由
I??6.0R?40/7A?1.05AABr0B2A专题19-例3波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形．他将如图1所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，得到如图2的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方法处理，经过第二次分割就得到图3的图形．经三次分割后，又得到图4的图形．这是带有自相似特征的图形，这样的图形又称为谢尔宾斯基镂垫．它的自相似性就是将其中一个小单元（例如图4中的△BJK）适当放大后，就得到图2的图形．如果这个分割过程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部分将被不断地镂空．AAAAD图1 图2 图3 图4 KEDEDEG数学家对这类几何图形的自相似性进行了研究，创造和发展出了一门称为“分BCBIJFCl0BBCCFF形几何学”的新学科．近三十多年来，物理学家将分形几何学的研究成果和方法用于有关的物理领域，取得了有意义的进展．我们现在就在这个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边构成的电阻网络的等效电阻问题：设如图1所示的三角形ABC边长L0的电阻均为r；经一次分割得到如图2所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的二分之一；经二次分割得到如图3所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割得到如图4所示的图形，其中每个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一．⑴试求经三次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻．⑵试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个顶点间的等效电阻解答解:2R0?r3对分割一次后的图形
552R1?r?r?963对分割二次后的图形
对三角形ABC,任意两点间的电阻
rB5r6A
读题
Cr2可见,分割三次后的图形
2?5?R2???r?3?6?322125?5?R3???r??r3234?6?递推到分割n次后的图形
2?5?Rn????r3?6?n5r2?5?12?6?r??如图所示的平面电阻丝网络中，每一直
线段和每一弧线段电阻丝的电阻均为r．试求A、B两点间的等效电阻．
解:BBAB
A
RABABB?ArA?34r?解:三个相同的均匀金属圆圈两两相交地连
接成如图所示的网络．已知每一个金属圆圈的电阻都是R，试求图中A、B两点间的等效电阻RAB．
三个金属圈共有六个结点，每四分之一弧长的电阻R/4.
A将三维金属圈“压扁”到AB所在平面并“抻直”弧线成下图
R4RABR?RR????8?82??R?RR?????8?82?BR8A
R45?R48B