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?A14 A???O4?540?O??054?4?A2????O?O2426??? 0??4?2?25. ??An?Cs?nOBsOBsOEnO?1AnO?? Es?O?? Es?O?? Es?O?? Bs?1???En??????Cs?n?1Anr1O?1An?E???????n?Or2?Cr1?左乘??1B?Cs?nAn?E??????n?O?B?1r2?左乘?OEs?1An?1?Bs?1Cs?nAn?1?An?AO??????1??B?1Cs?nAn?CB??s?1O? ?1??Bs??10??30??21?利用这个结果取A???，B???，C???，
121412???????1?An?AO?则由?????1??B?1Cs?nAn?CB??s?1O?得 ?1??Bs?1?20?1?40??1A?1??，B????，
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1?24?8??5?26?0000习题3
1.设
?＝(1，1，0，?1)T，?＝(?2，1，0，0)T，?求3????5?．
2.设
＝(?1，?2，0，1)T，
3??4?＝(2，1，1，2)T 2??3?＝(?1，2，3，1)T
求?,?．
3.解向量方程
3??2X?5?
其中，?＝(3，5，7，9)T，?＝(?1，5，2，0)T．
4.判断向量?能否由其余向量线性表示？若能，写出表示式.
（1）?＝(0，10，8，7)T，?1＝(?1，2，3，9)T，?2＝(1，3，1，0)T，?3＝(1，8，5，?2)T.
（2）?＝(1，2，1，1)T，?1＝(1，1，1，1)T，?2＝(1，1，?1，?1)T，?3＝(1，?1，1，?1)T，?4＝(1，?1，?1，1)T．
5.设?1＝(1＋k，1，1，1)T，?2＝(1，1＋k，1，1)T，?3＝(1，1，1＋k，1)T，?＝(1，3，2，1)T，试问k取何值时，?可由?1,?2,?3线性表示？并写出表示式．
6.设?1＝(1，0，2，3)T，?2＝(1，1，3，5)T，?3＝(1，-1，a+2，1)T，?4＝(1，2，4，a＋8)T，?＝(1，1，b＋3，5)T，试问当a,b为何值时．
（1）?不能由?1,（2）?能由?1,（3）?能由?1,?2,?3,?4线性表示；
?2,?3,?4线性表示，且表示法唯一，并写出该表示式； ?2,?3,?4线性表示，且表示法不唯一，并写出两个表示式．
7．设向量?可由向量组?1,表示，则向量组?1,?2,?,?m线性表示，但不能由?1,?2,?,?m?1线性
?2,?,?m与向量组?1,?2,?,?m?1,?等价．
8.判断下列向量组是否线性相关？
（1）?1＝(2，2，7，?1)T，?2＝(3，?1，2，4)T，?3＝(1，1，3，1)T.
（2）?1＝(1，4，2，7)T，?2＝(3，2，4，5)T，?3＝(1，?1，2，2)T，?4＝(1，4，2，7)T．
9．问k取何值时下列向量组线性相关？线性无关？
?1＝(k，2，1)T，?2＝(2，k，0)T，?3＝(1，?1，1)T
10．设向量组?1,?2,?3线性无关，?1??1?2?2?3?3，?2??1??2?2?3，
?3??1??2??3，讨论向量组?1,?2,?3的线性相关性．
11．已知向量组?1,?2,?,?m线性无关，设?1??1??2，?2??2??3，…，
?m?1??m?1??m，?m??m??1，讨论向量组?1,?2,?,?m的线性相关性．
12．设向量组?1,?2,?,?m不含零向量，且?k(k =2，3，…，m)不能由
线性表示，则向量组?1,?2,?,?m线性无关． ?1,?2,?,?k?113．求下列向量组的秩及一个极大线性无关组，并用极大线性无关组线性表示其余向量．
（1）?1＝(2，1，3，?1)T，?2＝(3，?1，2，0)T，?3＝(1，3，4，?2)T，?4＝(4，?3，1，1)T.
（2）?1＝(1，2，3，?1)T，?2＝(3，2，1，?1)T，?3＝(2，3，1，1)T，?4＝(2，2，2，?1)T，?5＝(5，5，2，0)T．
（3）?1＝(1，2，?1，1)T，?2＝(2，0，k，0)T，?3＝(0，?4，5，?2)T，?4＝(2，2，
2，?1)．
（4）?1＝(1，0，1，2)T，?2＝(0，1，1，2)T，?3＝(?1，1，0，k)T，?4＝(1，2，
k，6)T，?5＝(1，1，2，4)T．
14．设R{?1,?2,?,?m}=R{?1,?2,?,?t}，且?1,?2,?,?m可由
?1,?2,?,?t线性表示，则向量组?1,?2,?,?m与向量组?1,?2,?,?t等价．
15．设有两个向量组?1＝(1，2，?1，3)T，?2＝(2，5，a，8)T，?3＝(?1，0，3，1)T；7)T，?2＝(3，3＋a，3，11)T，?3＝(0，1，6，2)T，若?1可由?1,?2,?3?1＝(1，a，a2 ?5，
线性表示，试判断这两个向量组是否等价？
16．已知向量组?1＝(0，1，?1)T，?2＝(a，3，1)T，?3＝(b，1，0)T与向量组?1＝(1，2，?3)T，?2＝(2，1，?1)T，?3＝(3，0，1)T具有相同的秩，且?3可由?1,性表示，求a,b．
17．判断下列集合是否是向量空间？为什么？若是向量空间，求出其维数及一个基． （1）V1＝{(x1，x2，…，x n)T?Rn|a1x1+a2x2 + … +a nx n＝0}，其中ai（i = 1，2，…，n）为R中固定的数．
（2）V2＝{(x1，x2，…，x n)T?Rn|a1x1+a2x2 + … +a n x n＝1}，其中ai（i = 1，2，…，n）为R中固定的数．
18．设?1,＝L(?2，?3)．
19．求下列向量生成子空间的维数与一个基．
（1）?1＝(?1，3，4，7)T，?2＝(2，1，?1，0)T，?3＝(1，2，1，3)T，?4＝(?4，1，5，6)T.
（2）?1＝(2，1，3，?1)T，?2＝(1，?1，3，?1)T，?3＝(4，5，3，?1)T，?4＝(1，5，3，?1)T．
20．设?1＝(1，0，?1)T，?2＝(2，1，1)T，?3＝(1，1，1)T；?1＝(3，1，4)T，?2＝(5，2，1)T，?3＝(1，1，?6)T．
?2,?3线
?2,?3?Rn．证明，若k1?1?k2?2?k3?3?0且k1k2 ? 0，则L(?1，?3)
（1）证明?1,?2,?3与?1,?2,?3都是R3的基； ?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵；
（2）求由基?1,（3）求坐标变换公式；
（4）求?＝(8，3，0)分别在基?1,?2,?3与基?1,?2,?3下的坐标．
21．设?＝(1，0，?1，0，1)T，?＝(0，1，0，2，0)T． （1）求?与?的内积 [?，?]； （2）求?与?的长度||?||，||?||； （3）求?与?的夹角?．
22．用施密特正交化方法将下列向量组标准正交化．
（1）?1＝(1，1，1，1)T，?2＝(3，3，?1，?1)T，?3＝(?2，0，6，8)T； （2）?1＝(1，1，1，0)T，?2＝(1，0，1，0)T，?3＝(?1，2，3，0)T． 23．求与向量?1＝(1，0，?1，2)T，?2＝(0，1，1，0)T都正交的向量． 24．判别下列矩阵是否为正交矩阵？并说明理由．
?????（1）???????25．设?,1201212?120121?2?0?1?1??11?33?22?1??，?（2）?011?2??22?1?2???11?66???22?01??3?1?? 2?1??6???Rn，A是n阶正交矩阵，证明：
（1）[A?,A?]＝[?,?]； （2）||A?||＝||?||；
（3）A?与A?的夹角等于?与?的夹角． 26．证明，若?1,?2,?,?n是Rn的一组标准正交基，A是n阶正交矩阵，则