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习题6
?a1?1．证明：?0?0?0a200??a2??0?与?0?a3???00a300??0?合同. a1??2．写出下列二次型的矩阵表示: （1）f??4x1x2?2x1x3?2x2x3；
（2）f?x?4xy?4y?2xz?z?4yz；
（3）f?x1?x2?x3?x4?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x3?4x2x4.
3．设A是一个n阶对称矩阵.如果对任一个n维列向量x，都有xAx?0，试证A?0. 4．用拉格朗日配方法化下列二次型为标准形. （1）2x1x2?2x3x4；
T222222222（2）x1?2x2?2x1x2?2x1x3.
?5．用初等变换法化下列二次型为标准形.
（1）x1x2?4x1x3?6x2x3；
222（2）2x1?3x2?3x3?4x2x3.
6．用正交变换法化下列二次型为标准形.
222（1）x1?2x2?5x3?2x1x2?2x1x3?8x2x3；
（2） 2x1x2?2x1x3?2x1x4?2x2x3?2x2x4?2x3x4. 7．求一个正交变换把二次曲面的方程
3x2?4xy?5y2?4xz?5z2?10yz?1
化成标准方程.
8．化下列二次型为规范形.
222（1）x1?3x2?5x3?2x1x2?4x1x3； 222（2）2x1?x2?4x3?2x1x2?2x2x3.
9．证明：秩等于r的对称矩阵可以表成r个秩等于1的对称矩阵之和. 10．判别下列二次型是否正定：
222（1）f(x1,x2,x3)?x1?2x2?3x3?4x1x2?2x2x3；
2222（2）f(x1,x2,x3,x4)?x1?3x2?9x3?19x4?2x1x2?4x1x3?2x1x4?6x2x4?12x3x4.
11．t满足什么条件时，下列二次型是正定的：
222（1）f(x1,x2,x3)?x1?x2?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3； 222（2）f(x1,x2,x3)?x1?2x2?3x3?2tx1x2?2x2x3.
12．试证：如果A是正定矩阵，那么A的主子式全大于零. 13．试证：如果A是正定矩阵，那么 （1）kA(k?0)是正定矩阵； （2）A是正定矩阵.
14．试证：如果A,B是同阶正定矩阵，那么A?B也是正定矩阵.
?1?15．试证：实二次型f(x1,x2,?,xn)是半正定的充分必要条件是f(x1,x2,?,xn)的
正惯性指数等于它的秩.
?16．试证：实二次型f(x1,x2,?,xn)?xTAx是半正定的充分必要条件是A的特征值
全大于或等于零.
解答习题6
?0?21??x1?????2．（1）f?(x1,x2,x3)??201??x2?；
?110??x????3??121??x?????(2)f?(x,y,z)?242??y?；
?121??z??????1?1??11(3)f?(x1,x2,x3,x4)??23???1?22?1??x1????3?2??x2?． ???10x3???01??x4??22y1?y3?x1?22??22y1?y3?x2??2222224．(1)?，f?y1； ?y2?y3?y4?x?2y?2y24?322?22?x??y?y442??22?x1?y1?y2?y3?222x2?y2(2)?，f?y1． ?y2?y3?x??y?y23?33?x?y?y2?y31?16?2?225．(1)?x2?y1?； y2?y3，f?y12?y2?y36??5y2?y3?x3?26???x1?y1?1?(2)?x2?y2?2??1y2??x3?2?122． y3，f?2y12?5y2?y321y32?x1?y1?y2?2y3?2226．(1)?x2?y2?3y3，f?y1； ?y2?5y3?x3?y3?111?x?y?y?y42?12122?111?x??y?y?y4212?22?22222(2)?，f??3y1． ?y2?y3?y4??x3??1y?11y3?1y4?222?x111??4?2y1?2y3?2y4??x?4u?1?323v7．??y??1u?2v?1w，2u2?11v2??32321．
???z?132u?213v?2w??x51?y1??2y2?2y38．(1)??x1?2?2y2，f?y2221?y2?y3； ??x3??2y2?y3???x1?1y?1y?1y?212223(2)??x22222?2?2y2?2y3 f?y1?y2?y3．???x3?12y310．(1)负定；(2)正定． 11．(1)?0.8?t?0；(2)?15153?t?3．