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选修1－1第三章《导数及其应用》同步测试题
时间100分钟，满分150分
1、自变量x0变到x1(x1>x0)时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A. 在区间?x0,x1?上的平均变化率 B. 在x0处的变化率
C. 在x1处的变化量 D. 在区间?x0,x1?上的导数
2、下列说法正确的是 ( ) A．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f ′(x0)必存在
C．若f ′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
x2
3、函数y＝的导数是 ( )
x＋3
x2＋6xx2＋6x－2x3x2＋6xA. B. C. D. ?x＋3?2x＋3?x＋3?2?x＋3?24、函数y＝x3cosx的导数是 ( ) A．3x2cosx＋x3sinx B．3x2cosx－x3sinx C．3x2cosx D．－x3sinx 5、若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝ ( ) A．－1 B．－2 C．2 D．0
1
6、若函数f(x)＝ f ′(－1) x2－2x＋3，则f ′(－1)的值为 ( )
2
A．0 B．－1 C．1 D．2
7、函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞)
8、已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为( )
A．a≥3 B．a>3 C．a≤3 D．a<3
9、函数y＝2－x2－x3的极值情况是 ( ) A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值 C．既无极大值也无极小值 D．既有极大值又有极小值
10、下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是 ( )
1
A．y＝2－3x2 B．y＝lnx C．y＝ D．y＝sinx
x－2
11、若曲线y＝2x2－4x＋a与直线y＝1相切，则a＝________.
4
12、若函数y＝－x3＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．
3
13、y＝x2ex的单调递增区间是________．
π1
14、设f(x)＝ax2－bsinx，且f ′(0)＝1，f ′()＝，则a＝________，b＝________.
32
15、(本题满分12分)若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
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16、(本题满分15分)求下列函数的导数：
x
(1)y＝3x2＋xcosx ；(2)y＝ ；(3)y＝lgx－ex .
1＋x
17、(本题满分14分)求下列函数的单调区间：
1
(1)y＝x－lnx；(2)y＝. 2x
18、(本题满分12分)设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．
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19、(本题满分13分)求f(x)＝2x
－2的极值． ＋1
2
第 3 页 共 7 页 x
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《导数及其应用》同步测试题答案
1、 A。本题考察平均变化率的定义。
2、C.解析： k＝f′(x0)，所以f ′(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为x＝x0.
?x2?′?x＋3?－x2·?x＋3?′2x?x＋3?－x2x2＋6xx2
3、A.解析：y′＝()′＝＝＝.
x＋3?x＋3?2?x＋3?2?x＋3?24、B.解析：选B.y′＝(x3cosx)′＝3x2·cosx＋x3(－sinx)＝3x2cosx－x3sinx，故选B.
5、B.解析：由题意知f′(x)＝4ax＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，故f′(－1)＝－4a－2b＝－2.
注：可知f′(x)为奇函数，故f′(－1)＝－f′(1)
1
6、B.解析：∵f(x)＝f′(－1)x2－2x＋3，∴f′(x)＝f′(－1)x－2.
2
∴f′(－1)＝f′(－1)×(－1)－2.∴f′(－1)＝－1. 7、D.解析：f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，故选D. 8、A.解析：∵f′(x)＝3x2－a，
又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，
即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立．∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立， 又0≤3x2<3，∴a≥3，
经验证当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．∴a≥3
2?2?
9、D.解析：y′＝－2x－3x2＝0?x＝0或x＝－.所以x∈?－∞，－3?时，y′<0，
3???2?
y为减函数；在x∈?－3，0?时，y′>0，y为增函数；在x∈(0，＋∞)时，y′<0，
??y为减函数，∴函数既有极大值又有极小值． 10、C.解析：对于函数y＝
－11
，其导数y′＝＜0，且函数在区间(－1,1)
?x－2?2x－2
3
1
上有意义，所以函数y＝在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要
x－2求。
11、 3 ．解析：设切点坐标为(x0,1)，则f′(x0)＝4x0－4＝0，
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∴x0＝1.即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a＝1，即a＝3. 12、解析：∵y′＝－4x2＋a，且y有三个单调区间，
∴方程－4x2＋a＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a>0，∴a>0. 答案：(0，＋∞)
13、解析：∵y＝x2ex，∴y′＝2xex＋x2ex＝exx(2＋x)>0?x<－2或x>0.
∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞) 14、解析：∵f′(x)＝2ax－bcosx，
π211
f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′()＝πa＋＝，得a＝0. 答案：0，－1
332215、(本题满分12分)若函数f(x)＝－x2＋x在[2,2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，求Δx的范围．
15、解：∵函数f(x)在[2,2＋Δx]上的平均变化率为：
2
Δyf?2＋Δx?－f?2?－?2＋Δx?＋?2＋Δx?－?－4＋2?＝＝ ΔxΔxΔx
－4Δx－?Δx?2＋Δx＝＝－3－Δx， ………………6
Δx分
∴由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2. ………………9分
又∵Δx＞0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)． ………………12分
16、(本题满分15分)求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋xcosx；(2)y＝
x
；(3)y＝lgx－ex. 1＋x
16、解：(1)y′＝(3x2)′+( xcosx)′
＝6x＋x′cosx+x (cosx)′＝6x＋cosx－xsinx. ………………5
分
(2)y′＝分
(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝
1
－ex. ………………15xln10
x'(1＋x)－x(1+x)'1＋x－x1
＝＝. ………………10
?1＋x?2?1＋x?2?1＋x?2第 5 页 共 7 页 金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com