2015年高考数学一模试卷（理科）
(扫描二维码可查看试题解析)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）（2004?浙江）设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则?U（A∪B）=（ ） A{2} ． B{3} ． C{1，2，4} ． D{1，4} ． 2．（5分）（2015?）已知为虚数单位，复数z=i（2﹣i），则|z|=（ ） A． B． C1 ． D3 ． 3．（5分）（2012?重庆）对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x+y=2的位置关系一定是（ ） A相离 ． C相交但直线． 不过圆心 B相切 ． D相交且直线． 过圆心 22
4．（5分）（2015?）下列命题正确的是（ ） ?x0∈R，2x0+2x0+3=0 3?x∈N，x＞2x 2x＞1是x＞1的充分不必要条件 D若a＞b，则． a2＞b2 A． B． C． 5．（5分）（2015?）已知sin2α=，则cos（ A． B． C． 2
）=（ ） D． 第1页（共7页）
6．（5分）（2015?）若等差数列{an}的前n项和为Sn，a4=4，S4=10则数列{的前2015项和为（ ） AB ． ． }
C． D． 7．（5分）（2015?）航空母舰“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼﹣15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着
舰方法有（ ） A12种 B16种 C24种 D36种 ． ． ． ． 8．（5分）（2015?）如图三棱锥V﹣ABC，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=30°，若侧面VAC⊥底面ABC，则其主视图与左视图面积之比为（ ）
A4：． B4：． C． ： D． ： 9．（5分）（2015?）已知函数：f（x）=x+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件： A． B． 的事件为A，则事件A发生的概率为（ ）
C． D． 2
10．（5分）（2015?）已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（
6
﹣）
的展开式中的常数项式（ ）
第2页（共7页）
A﹣20 ． B﹣540 ． C20 ． 2
D540 ． x（p＞0）的焦点与双曲线C2：
﹣y=1
2
11．（5分）（2015?）已知抛物线C1：y=
的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，
则p=（ ） ABCD ． ． ． ． 12．（5分）（2015?）对于任意实数a，b，定义min{a，b}=
x
，定义在R
上的偶函数f（x）满足f（x﹣4）=f（x），且当0≤x≤2时，f（x）=min{2﹣1，2﹣x}，若方程f（x）﹣mx=0恰有4个零点，则m的取值范围是（ ） ABCD（﹣，） （﹣，） （，） （﹣.）∪． ． ． ． （，） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）（2015?）若点（a，25）在函数y=5的图象上，则tan
x
的值为 ．
14．（5分）（2015?）若正项数列{an}满足a2=，a6=则log2a4= ．
，且=（n≥2，n∈N），
15．（5分）（2015?）已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3外接球的表面积为 ．
，则这个四棱锥的
第3页（共7页）
16．（5分）（2015?）如图，已知圆M：（x﹣3）+（y﹣3）=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的最大值是 ．
22
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置.）
17．（12分）（2015?）已知A、B分别在射线CM、CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c． （Ⅰ）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值； （Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．
18．（12分）（2015?）甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可． （Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率； （Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．
19．（12分）（2015?）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，PA=PD=AD
=2，点M在线段PC上，且
=λ
（0≤λ≤1），N为AD的中点
（1）求证：BC⊥平面PNB （2）若平面PAD⊥平面ABCD，且二面角M﹣BN﹣D为60°，求λ的值．
第4页（共7页）
20．（12分）（2015?）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的． 如图，椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆C1：
的长轴长是4，椭圆C2：
F1，F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点， （Ⅰ）求椭圆C1，C2的方程； （Ⅱ）过F1的直线交椭圆C2于点M，N，求△F2MN面积的最大值．
短轴长是1，点
21．（12分）（2015?）已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的极值 （2）设g（x）=
[xf（x）﹣1]，若对任意x∈（0，1）恒有g（x）＜﹣2求实数
a的取值范围．
四、选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）（2015?）AB是⊙O的一条切线，切点为B，过⊙O外一点C作直线CE交⊙O于G，E，连接AE交⊙O于D，连接CD交⊙O于F，连接AC，FG，已知AC=AB
2
（1）证明：AD?AE=AC； （2）证明：FG∥AC．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
第5页（共7页）