本方法应从如下三方面入手：
(一).从较高的数学观点来研究中学代数知识，加深对相关内容的本质理解； 例：为什么复数不能比较大小
在中学里，我们知道两复数相等时当且仅当它们的实部等于实部，虚部等于虚部。如果问：两复数不等时，它们有没有大小关系？
其实，复数之间能建立一种顺序关系，即前后关系，但不能建立大小关系。我们可以将平面上的点“排队”，即按照字典方法将复数排队，两个复数，先比较实部，实部较小的复数排在前面，如果实部相等，再比较虚部，以虚部小的复数排在前面。通过这种方式能将复平面上的点进行排序，由此可知复平面上的点是可以有顺序的。
那么为什么复数不能比较大小呢？要弄清这个问题，必须要弄清什么是大小关系？什么是有序域？在以后的学习中，我们会知道大小关系必须满足两种性质，即加法保序性和乘法保序性，复数集是不能同时满足这两种性质的，从而复数不能比较大小。
在中学代数中，类似以上的例子还有很多，我们只有通过从较高的数学观点出发，才能清楚地理解或回答类似的问题。
(二).用有机联系的观点来研究，丰富对中学代数知识的理解；
数学各知识间具有有机联系性，这不仅表现在“高等数学”与“初等数学”之间，而且在数学知识的各分支中，尤其是“数”与“形”的联系。在以后有关不等式的学习中，我们会突出这一点，即抽象的代数形式一般具有直观的几何图形给予说明和解释。
我们从几何的角度去处理代数知识或反过来，当把这种方法用于教学中时，学生就不会感到代数只是一些抽象而枯燥的符号、公式、命题。这体现了“中学代数教学”的一个基本原则：形式化与直观理解相结合。
(三).适当注意对解题的研究，强化对中学代数知识理解的应用性。
数学学习和教学离不开解题，因此中学代数研究还要注意对解题方法的研究。当然，我们不主张“题海战术”，只是适当注意对数学解题方法的研究而已。
80、进入21世纪之后，我国新颁布的《高中数学课程标准（实验稿）》为什么要把“算法”列入必修课？
答：算法由阿拉伯著名数学家阿尔花拉子米首先定义，其内容包括加法、乘法、减法、除法等。算法是可定义为若干组含义明确的有穷规则，也是对特定问题求解步骤的一种描述，这种描述规定了解决某一特定类型问题的一系列运算。故算法具有五个特征：①有穷性。②确定性。③可行性。④输入。⑤输出。算法具有许多的用途，在解答难易程度的题其算法往往不一，但算法拥有最核心的问题和最基础的知识，如“先乘除，后加减”由内向外去括号，通分母，利用分配律进行运算，运用计算公式等。算法作为一种核心观念贯穿于高中数学教学的始终。故算法在高中课本上具有举足轻重的作用，算法的教学框图技能训练，是具有条理地，清晰的表达算法，也是因为框图已经为编程等也相当重要。算法可以给学生学习带来方便，也可提高学生的逻辑思维能力。故高中数学课程引入“算法”是明智的抉择。
81、请说明为什么复数不能比较大小。
答：复数之间能建立一种顺序关系，即前后关系，但不能建立大小关系。我们可以将平面上的点“排队”，即按照字典方法将复数排队，两个复数，先比较实部，实部较小的复数排在前面，如果实部相等，再比较虚部，以虚部小的复数排在前面。通过这种方式能将复平面上的点进行排序，由此可知复平面上的点是可以有顺序的。
大小关系必须满足两种性质，即加法保序性和乘法保序性，复数集尽管按照字典排序法可构成一个序集，但这个序关系不能同时满足加法保序性和乘法保序性。在这个意义上说，复数不能比较大小。
82、为什么有理数一定可以写成循环小数的形式，反之，任何一个循环小数也可写成有理数的形式？
83、方程的定义是什么？并说出这样定义的好处？
答：目前中学数学教科书通用的方程定义是：含有未知数的等式叫做方程。这个定义用的是
“种+属差”的逻辑定义方式，即“它首先是等式”，再指出它是“含有未知数的”等式。由于它简洁明了，能为大家所认同和接受。
这个定义注重外观的描述，指出方程是通过已知数“求”未知数而产生的 等量关系。但是“种+属差”的定义方式往往只能识别一个对象是不是方程，但是却无法从中获得方程的思想实质。识别不同于认识和理解。打个比方，我们可以通过照片识别一个人的外貌，却无法了解一个人的全部特质以及他的精神世界。
这里我们给出一个可以取代的定义：“方程是为了求未知数，在未知数和已知数之间建立的一种等式关系”。这样定义的好处是：
（1）它揭示了方程这一数学思想方法的目标：为了求未知数；
（2）陈述了“已知数”的存在，解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系； （3）方程的本质是“关系”，而且是一个等式关系。
84、试述“中学代数研究”的研究方法？
答：长期以来，对中学代数的研究存在一种单一的“严格化”倾向，即对中学代数知识用成熟的数学语言系统，逻辑地建立起来，中学代数研究的一个主要目的就是将中学里“不严格的内容”加以严格化。我们并不反对要将中学代数知识严格化、系统化，毕竟这有助于对数学知识有更深入地认识和了解，但是单纯地为严格化而严格化，就失去了中学代数研究的重要目的。正如F.克莱因指出的，我们当然要用较高的观点处理初等数学知识，只有观点越高，事物越显得简单；另外，还要为中学数学教学服务，数学知识的讲授应当顾及到学生的心理，不应只讲究系统。为此，我们认为中学代数研究的基本方法应从如下三方面入手：
(一).从较高的数学观点来研究中学代数知识，加深对相关内容的本质理解； 例：为什么复数不能比较大小
在中学里，我们知道两复数相等时当且仅当它们的实部等于实部，虚部等于虚部。如果
问：两复数不等时，它们有没有大小关系？
其实，复数之间能建立一种顺序关系，即前后关系，但不能建立大小关系。我们可以将平面上的点“排队”，即按照字典方法将复数排队，两个复数，先比较实部，实部较小的复数排在前面，如果实部相等，再比较虚部，以虚部小的复数排在前面。通过这种方式能将复平面上的点进行排序，由此可知复平面上的点是可以有顺序的。
那么为什么复数不能比较大小呢？要弄清这个问题，必须要弄清什么是大小关系？什么是有序域？在以后的学习中，我们会知道大小关系必须满足两种性质，即加法保序性和乘法保序性，复数集是不能同时满足这两种性质的，从而复数不能比较大小。
在中学代数中，类似以上的例子还有很多，我们只有通过从较高的数学观点出发，才能清楚地理解或回答类似的问题。
(二).用有机联系的观点来研究，丰富对中学代数知识的理解；
数学各知识间具有有机联系性，这不仅表现在“高等数学”与“初等数学”之间，而且在数学知识的各分支中，尤其是“数”与“形”的联系。在以后有关不等式的学习中，我们会突出这一点，即抽象的代数形式一般具有直观的几何图形给予说明和解释。
我们从几何的角度去处理代数知识或反过来，当把这种方法用于教学中时，学生就不会感到代数只是一些抽象而枯燥的符号、公式、命题。这体现了“中学代数教学”的一个基本原则：形式化与直观理解相结合。
(三).适当注意对解题的研究，强化对中学代数知识理解的应用性。
数学学习和教学离不开解题，因此中学代数研究还要注意对解题方法的研究。当然，我们不主张“题海战术”，只是适当注意对数学解题方法的研究而已。
85、为什么有理数一定可以写成循环小数的形式，反之，任何一个循环小数也可写成有理数的形式？
答：有理数一定可以写成循环小数：在一般地推公式：f(m?k)?10k?f(m)?(10k?1)modb中，不妨设f(m)?f(m?k)，由此得出：b是
(10k?1)(f(m)?1)的约数。我们令b?uv,满足u整除10k?1，v整除f(m)?1前者可以得到整数x满足ux?10k?1,对于后者，先由f(m)?10m?1modb的定义可知，10m?1?rb?f(m),其中r是某个整数，从而两边加1得：10m?rb?f(m)?1，进而由v既整除b，又整除f(m)?1得到v能够整除10m，得知存在另一个整数y满足vy?10m。因此就得到：a11yx1axy?a???a?m?k?m?k,令axy?（10k?1）q?p,0?p＜10k?1bvu1010?11010?1aq1p则可以得到：?m?m?k。由此可以知道结果是一个有限小数或循环小数。b101010?1任何一个循环小数可以化成有理数：任取一个无线循环小数q,从开始循环的地方切一刀，rr?r1把前面和后面的部分分开：q?0.(r1r2?rm)(a1a2?ak)(a1a2?ak)??12mm?m?10100.(a1a2?ak)(a1a2?ak)??p?(a1a2?ak)?f?(a1a2?ak)?0.(00?01)(00?01)??满足f?r1r2?rm11(a1a2?ak),因此我们就得到：q???。10k?1,10m10m10k?1这就证明了q是有理数。86、试述函数概念的历史发展，以及说明高中以函数为课程主线的具体体现及要求，并简要阐述函数概念引入的教学策略。
答：1.在函数概念发展史中，先后经历了“变量说”、“对应说”及“关系说”三种不同定义方式的发展过程。
首先，1755年，欧拉对函数作了如下定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的变量称为后面变量的函数。”
这是函数的早期定义之一，它比较直观，现在，在初中数学教材就基本采用了这一定义。即一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果变量y 随着x 的变化而变化，那么就说x 是自变量，y 是因变量，也称y 是x 的函数。 我们把这一定义，称为函数的“变量说”。
其次，数学家康托尔的集合论出现后，人们开始用集合之间的“对应”来定义函数概念，函数被明确地定义为集合之间的“对应”。
现在，在高中的数学教材中，我们就基本采用了函数的这一定义：
函数的“对应说”定义：设A ,B为非空数集，如果存在一个对应法则f ，对A 中每个元x 按照对应法则f ，在B中有唯一的一个元素y 与之对应，则称这样的对应f 叫做集合A到集合B上的函数，记为 f :A→B。
后来，1914年，法国数学家豪斯道夫用序偶（x ,y ）的集合来定义函数，而不用对应一词。
在序偶定义及二元关系的基础上，形成了
函数定义的“关系说”：设X 与Y是两个集合，而f是X与Y笛卡尔积的子集，如果对于每一个x ∈X,有唯一的y ∈Y,使得（x ,y ）∈f ,则称关系f 为X 到Y的函数，记作：f :X→Y。
2、函数作为高中数学的一条课程主线，贯穿于整个高中数学课程中。特别是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。表现在：
（1）函数与方程：
方程可看做函数的局部性质，如何利用函数的整体性质来讨论函数的局部性质？这是解决方程问题的基本思想。 （2）函数与数列：
等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。 （3）函数与不等式
用函数的观点来讨论不等式的问题，无论是对于理解函数的思想，还是解不等式的有关问题，都是非常有益的，有助于更好地理解这些知识本身和解决相关问题。 （4）函数与线性规划
解线性规划问题，关键的就是以下三步：第一步，确定目标函数；第二步，确定目标函数的可行域；第三步，确定目标函数在可行域内的最值。 （5）函数与算法
在算法中，最基本和重要的结构之一是循环结构。循环结构是通过给循环变量赋值来实现循环的，用函数来刻画循环变量，可把循环变量看做“运算次数”的函数。 3、在高中函数概念的教学中，我们应当注意以下教学策略：
（1）在函数概念建构之前，通过引发学生的认知冲突，实现认知结构的“顺应”； （2）在建构函数概念时，需要选择适宜的数学原型，利用数学原型归纳概括概念； （3）在剖析函数概念时，将需要关注的问题和关键点融入到具体的问题中，请学生思考；
（4）在巩固函数概念时，提供类型丰富的题目（如表格对应、图形表示对应以及其它集合对应等），根据学生程度，设计有梯度的练习。
87、试述函数概念的历史发展，以及说明高中以函数为课程主线的具体体现及要求，并简要阐述函数概念引入的教学策略。
答：1.在函数概念发展史中，先后经历了“变量说”、“对应说”及“关系说”三种不同定义方式的发展过程。
首先，1755年，欧拉对函数作了如下定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的变量称为后面变量的函数。”
这是函数的早期定义之一，它比较直观，现在，在初中数学教材就基本采用了这一定义。即一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果变量y 随着x 的变化而变化，那么就说x 是自变量，y 是因变量，也称y 是x 的函数。 我们把这一定义，称为函数的“变量说”。
其次，数学家康托尔的集合论出现后，人们开始用集合之间的“对应”来定义函数概念，函数被明确地定义为集合之间的“对应”。
现在，在高中的数学教材中，我们就基本采用了函数的这一定义：
函数的“对应说”定义：设A ,B为非空数集，如果存在一个对应法则f ，对A 中每个元x 按照对应法则f ，在B中有唯一的一个元素y 与之对应，则称这样的对应f 叫做集合A到集合B上的函数，记为 f :A→B。
后来，1914年，法国数学家豪斯道夫用序偶（x ,y ）的集合来定义函数，而不用对应一词。
在序偶定义及二元关系的基础上，形成了
函数定义的“关系说”：设X 与Y是两个集合，而f是X与Y笛卡尔积的子集，如果对于每一个x ∈X,有唯一的y ∈Y,使得（x ,y ）∈f ,则称关系f 为X 到Y的函数，记作：f :X→Y。
2、函数作为高中数学的一条课程主线，贯穿于整个高中数学课程中。特别是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。表现在：
（1）函数与方程：
方程可看做函数的局部性质，如何利用函数的整体性质来讨论函数的局部性质？这是解决方程问题的基本思想。 （2）函数与数列：
等差数列是线性函数的离散化，而等比数列是指数函数的离散化。 （3）函数与不等式
用函数的观点来讨论不等式的问题，无论是对于理解函数的思想，还是解不等式的有关问题，都是非常有益的，有助于更好地理解这些知识本身和解决相关问题。 （4）函数与线性规划
解线性规划问题，关键的就是以下三步：第一步，确定目标函数；第二步，确定目标函数的可行域；第三步，确定目标函数在可行域内的最值。 （5）函数与算法
在算法中，最基本和重要的结构之一是循环结构。循环结构是通过给循环变量赋值来实现循环的，用函数来刻画循环变量，可把循环变量看做“运算次数”的函数。 3、在高中函数概念的教学中，我们应当注意以下教学策略：
（1）在函数概念建构之前，通过引发学生的认知冲突，实现认知结构的“顺应”； （2）在建构函数概念时，需要选择适宜的数学原型，利用数学原型归纳概括概念； （3）在剖析函数概念时，将需要关注的问题和关键点融入到具体的问题中，请学生思考；
（4）在巩固函数概念时，提供类型丰富的题目（如表格对应、图形表示对应以及其它集合对应等），根据学生程度，设计有梯度的练习。
88、什么是数学表达能力？请在算法的教学中举一例说明如何培养学生的数学表达能力