答：所谓数学表达能力，是指将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程等， 用恰当的数学语言（包括自然语言、数学图形语言、数学符号语言等）准确流畅地表达出来的能力。
数学语言根据其表达形式的不同，可分为自然语言、图形语言和符号语言。这三种形式的数学语言在数学学习中，扮演着各自不同的作用。自然语言易表达，图形语言直观形象，而符号语言抽象、严谨、准确。让学生掌握好这三种语言各自的特点，使培养他们的数学表达能力的基本条件。
根据这三种语言的各自特点，使学生由易而难，依次掌握不同的数学语言是培养数学表达能力的基本途径。
在算法教学中，我们可以用自然语言叙述算法，也可以用程序框图表示算法，还可以用算法语句编写程序使计算机执行算法。自然语言描述的算法步骤、程序框图和程序是不同形式的算法，依次由自然语言、过渡到程序框图，再到算法语句，这体现了算法逐渐“精确”的过程。
例：设计一个计算1+2+3+?+100的值的算法，并画出程序框图。(高中人教版必修3 ，P13)
首先，用自然语言表达：写出1之后，先算1+2，所得的和再加3，所得的和再加4，所得的和再加5,以此类推，一直加到100。即，
第1步，0+1=1.
第2步，1+2=3.
第3步，3+3=6. 第4步，6+4=10. ?
第100步，4950+100=5050.
其次，用顺序结构程序框图表示，并认识到对此进行简化的必要性。如下
图：
到这里，教师引导学生寻找规律，提出能否简化顺序结构框图。根据学生的认知，初步形成循环框图，引出循环结构的概念。
通过以上由易而难的教学程序，能使学生更好地理解所学的算法结构，也为以后学习算法语句奠定了基础。
89、试述算法学习的意义和作用
答：算法是计算机理论和实践的核心，也是是数学的最基本内容之一。可以这样说，数学学习的主要作用之一是形成“算法思维”。算法有着悠久的发展历史，中国古代数学曾经以算法为特色，取得了举世瞩目的辉煌成就。在已经逐步进入信息化社会的今天，算法的基本知识、方法、思想日益融入人们社会生活的方方面面，已经也应该成为现代人所应具备的一种基本素质。
高中数学课程中的算法有以下几个方面的作用：
（1）算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力
在某种意义上，问题是数学的核心，对于很多数学问题，不论是代数问题还是几何问题，算法框图可以准确、清晰、直观地展示解决问题的过程。一个算法常常可以解决一类问题。因此，算法，一方面具有具体化、程序化、机械化的特点，同时又有高度的抽象性、概括性和精确性。将解决具体问题的思路整理成算法的过程是一个条理化、精确化、逻辑化的过程，这有助于培养学生的逻辑思维能力。
（2）算法学习有助于提高学生的信息素养
信息技术正在改变着人们的生活方式、学习方式和工作方式，掌握和使用信息技术已是现代人必备的素养，高中数学课程中已开设了信息技术课程。信息技术以计算机技术为核心，而计算机技术的核心则是算法。因此，算法的学习有助于学生理解信息技术的本质，提高学生的信息素养。
90、试述函数概念的历史发展及中学两种函数概念的异同，说明中学生学习函数概念的认知难点及教学策略。
答：函数概念的历史发展：在函数概念发展史中，先后经历了“变量说”、“对
应说”及“关系说”三种不同定义方式的发展过程。
首先，1755年，欧拉对函数作了如下定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的变量称为后面变量的函数。”这是函数的早期定义之一，它比较直观，现在，在初中数学教材就基本采用了这一定义。即一般地，设在一个变化过程中有两个变
量x 与y ，如果变量y 随着x 的变化而变化，那么就说x 是自变量，y 是因变量，也称y 是x 的函数。我们把这一定义，称为函数的“变量说”。
其次，数学家康托尔的集合论出现后，人们开始用集合之间的“对应”来定义函数概念，函数被明确地定义为集合之间的“对应”。现在，在高中的数学教材中，就基本采用了函数的这一定义：函数的“对应说”定义：设A ,B为非空数集，如果存在一个对应法则f ，对A 中每个元x 按照对应法则f ，在B中有唯一的一个元素y 与之对应，则称这样的对应f 叫做集合A到集合B上的函数，记为 f :A→B。
后来，1914年，法国数学家豪斯道夫用序偶（x ,y ）的集合来定义函数，而不用对应一词。在序偶定义及二元关系的基础上，形成了函数定义的“关系说”：设X 与Y是两个集合，而f是X与Y笛卡尔积的子集，如果对于每一个x ∈X,有唯一的y ∈Y,使得（x ,y ）∈f ,则称关系f 为X 到Y的函数，记作：f :X→Y。
中学两种函数概念的异同：初中定义函数：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x在某一范围的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。高中定义函数：设A，B为两个为非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数。记作y=f(x)，x∈A。区别在于初中描述比较抽象，用的是更自然的语言，高中随着集合和映射的认识学习，对函数这一概念定义更为严谨。
认知难点和教学策略：在高中函数概念的教学中，我们应当注意以下教学策略： （1）在函数概念建构之前，通过引发学生的认知冲突，实现认知结构的“顺应”； （2）在建构函数概念时，需要选择适宜的数学原型，利用数学原型归纳概括概念； （3）在剖析函数概念时，将需要关注的问题和关键点融入到具体的问题中，请学生思考；
（4）在巩固函数概念时，提供类型丰富的题目（如表格对应、图形表示对应以及其它集合对应等），根据学生程度，设计有梯度的练习。
91、写出自然数（皮亚诺）公理系统的内容。
答：皮亚诺公理，也称皮亚诺公设，是数学家皮亚诺(皮阿罗)于1899年提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。包括以下五条公理：(1)1是自然数；(2)任一自然数都有唯一自然数为其后继数；(3)没有两个相异自然数有同一后继数；(4)1不是任何自然数的后继数；(5)如果1有性质p，且任何具有性质p的自然数其后继数也具有性质p，则一切自然数都有性质p。上述(5)就是数学归纳法原理。所有自然数的性质，都可由皮亚诺公理导出。
92、试给出函数的“变量说”、“对应说”、“关系说”三种定义。
答：函数的变量说定义：一般的，设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果变量y随着x的变化而变化，那么就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。X的取值范围叫做函数的定义域，与x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数的对应说定义：设A为非空实数集，如果存在一个对应规律f，对A中每个元x按照对应规律f，存在R中唯一的一个实数y与之对应，则称对应规律f是定义在A上的函数，表为f:A→R。集合A称为函数f的定义域，元x所对应的y值称为x的函数值，表为y=f(x). 函数的关系定义说：
设f是集合X与集合Y的关系，即f?X?Y.如果还满足(x1,y1)?f,(x1,y2)?f,则y1?y2,那么称f是集合X到集合Y的函数。
93、什么是数学表达能力？请在算法的教学中举一例说明如何培养学生的数学表达能力？
答：所谓数学表达能力，是指将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程等， 用恰当的数学语言（包括自然语言、数学图形语言、数学符号语言等）准确流畅地表达出来的能力。
数学语言根据其表达形式的不同，可分为自然语言、图形语言和符号语言。这三种形式的数学语言在数学学习中，扮演着各自不同的作用。自然语言易表达，图形语言直观形象，而符号语言抽象、严谨、准确。让学生掌握好这三种语言各自的特点，使培养他们的数学表达能力的基本条件。
根据这三种语言的各自特点，使学生由易而难，依次掌握不同的数学语言是培养数学表达能力的基本途径。
在算法教学中，我们可以用自然语言叙述算法，也可以用程序框图表示算法，还可以用算法语句编写程序使计算机执行算法。自然语言描述的算法步骤、程序框图和程序是不同形式的算法，依次由自然语言、过渡到程序框图，再到算法语句，这体现了算法逐渐“精确”的过程。