4．1 LMI用于控制问题常用的技术 4．1．1 矩阵操作技术
矩阵操作技术用于把各种判据最终化为LMI。①矩阵不等式的等价变换，主要有Schur 补引理；②有约束条件矩阵不等式转化为无约束条件矩阵不等式，主要有S-Procedure引理；③矩阵变量消去技术，主要有双边投影引理和Finsler引理；④矩阵扩展技术，即求构造一个部分项已知的矩阵，并使它满足一定的性质，主要有矩阵完成引理。
4．1．2 LFT(Linear Fraction Transformation)和多胞(polytopy)表示方法
系统不确定块的LFT表示，是把系统各环节的反馈互联看成是双端口网络的互联，从而在使用LMI技术对系统变换进行描述时，更为直观，也易于用矩阵直接描述系统和控制器结构。不确定块也可采用多胞表示，由于多胞是凸集，它可由端点完全描述。所以，在求解控制器时，如可化为LMI求解，则无须对多胞内的所有点求解，只要对它的端点进行求解即可。因而能大大减少计算量。 4．2 在控制理论中的应用举例
①用于LTI系统的鲁棒多目标分析和综合。基于Lyapunov方法和LMI技术可以统一处理LTI系统稳定、鲁棒性和性能指标问题，且得到的一些判据可为充要条件。统一处理这些鲁棒性能问题的优点是，一旦需要进行多目标综合，就可先把各性能指标与其相应的LMI可解条件一一对应，然后利用LMI的线性特性，把与各目标相对应的LMI像搭积木一样搭成统一的约束框架。基于这一思路，目前已有一些重要的结果，如LTI系统用LMI表示的H?、H2性能指标及极点配置的充要条件等。
②用于处理增益调度问题，主要LPV系统的鲁棒性能问题。经典的增益调度方法采用逐点内插和启发式切换策略，但这些技术忽略了控制对象时变的特性，而且理论上缺乏保证系统性能指标的系统方法，因而有一定危险性。采用LMI技术可以弥补这一不足。另外，增益调度需要对实际控制系统的动态知识进行显式利用，因而LMI技术可以满足其实时信息处理的快速性。而且，用LMI技术对LPV系统进行分析综合，可以看作是对LTI系统进行处理的一个自然扩展，它们有相类似的工程上的解释，易于理解，所以LMI技术处理LPV的鲁棒性能问题有一定的优越性。
③用于非线性系统。LMI技术在线性系统中的成功应用使得许多学者开始尝试把它用于分析非线性系统。最先考虑的是非线性系统的稳定性，H?性能指标等问题。线性系统H?控制已有成熟的状态空间法，依照其基本思路，Hall等利用算子理论，Vander Schaft利用微分几何方法，Isidori等利用微分对策论，Hill等利用Willems的耗散性理论，Lu等利用非线性矩阵不等式(NonLinear Matrix Inequalities)来处理这些问题。其中与LMI相关的主要是后两种方法。
动态耗散理论中的耗散性(dissipativity)概念是无源性(passivity)概念的推广。利用供应率(supply rate)和储存函数(storage function)这两个概念可以统一定义无源性和正实性以及得出小增益定理和正实定理的相互关系。由动态耗散理论方法得出的一些特殊非线性系统的鲁棒性能问题易于化为LMI标准问题来进行求解。用这一方法的关键是针对不同的系统寻找与之相适应的不同的储存函数。一旦储存函数找到，可以把它用作Lyapunov函数，此时，可同时考虑系统稳定性和保证性能两方面的要求。Hill等最先用到这一途径分析系统的鲁棒性。对线性系统和几类非线性系统的H?控制问题，其相应耗散不等式往往最后可化为LMI。对一般的非线性系统，则可化为多线性矩阵不等式(MLMI)。对另一些特殊的非线性系统，可化为带参数的LMIs来求解。
非线性矩阵不等式(NonLinear Matrix Inequalities)方法由Lu等提出。在文献[16，17]中，设计的非线性输出反馈H?控制器都具有分离结构。NLM方法可以得到不具分离结构的控制器。其解空间也是凸的，故它的求解仍具有凸优化求解的便利。另外，在加入
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一些附加条件后，NLMI可以化为以状态变量为自变量的逐点的LMIs，Lu等已证明，如对状态区域里的任意状态值，其LMI存在解，则函数LMI存在全局光滑解，因而原有的H?非线性问题可以化为逐点求解LMIs问题。但对空间如何搜索并逐点求解；有没有一个最优标准，使得这一搜索最优；求得了采样点处的LMIs解，又如何合成一个光滑的矩阵函数，仍有待于进一步研究。
4．3 用线性矩阵不等式求解控制问题的实例
在控制工程理论中，大多数控制问题都可以转化成线性矩阵不等式问题，而后，可应用线性矩阵不等式控制工具箱中的命令和函数来求解这些线性矩阵不等式。下面本文用线性矩阵不等式方法来求解控制理论中的一个重要问题即控制系统的稳定性问题。首先，推导判别控制系统稳定性的线性矩阵不等式条件。假如，给定一个线性离散时间系统的系数矩阵A，当且仅当??A??1时，系统稳定，其中????为谱半径。据此可推导此系统稳定的线性矩阵不等式条件为
??A??1
??P:?PAP-1?1 (????为最大奇异值)
??P:PAP?1PAP?1?1?I?0
??????P:APTPAT?PTP?0 ??X:X?XT?0，AXAT?X?0
已知线性离散时间系统的系数矩阵A，若存在矩阵X?XT?0，使线性矩阵不等式AXAT?X?0成立，则此系统稳定。可以看出，这两个线性矩阵不等式条件即为1.5中提到的可行性问题的的形式：这样，把判别控制系统的稳定性问题转化成了求解线性矩阵不等式的问题。利用MATLAB软件和线性矩阵不等式控制工具箱编程，计算并结合上述线性矩阵不等式条件分析一个离散时间控制系统的稳定性。 采用MATLAB中LMI工具箱求解矩阵不等式的问题： 对于对称矩阵不等式
A1n??A11A12?A1?n?1??*A??AA222?n?1?2n??????0 ……(11) ???????1***PA?n?1?n???***Q?1??*??PI??QI? ???0,?IN??0 ……(12) IM?????PM?QN?取得最小值。 的条件下使trace锥补线性化的LMI算法为：
①首先找到满足(11)和(12)中3个矩阵不等式的所有未知矩阵变量的一个可行解?P0,Q0,M0,N0?，令迭代次数k?0。
②对于矩阵变量?P,Q,M,N?，求解如下最小化问题：
?trace?PkM?MkP?QkN?NkQ?? MinimizeStbject to 2,3
令求出的最优解为：
?Pk?1,Qk?1,Mk?1,Nk?1?
③验证所求出的最优解是否满足①，若满足，则得解。若果不满足，检查k是否达到规定的迭代次数，如果达到，则系统无解；否则，令k?k?1，转到步骤2继续执行程序。
???1???1 15
以下对一具体问题所做的仿真，所需要描述的LMI为：
00A?BK?FC??S?P0?*??S000FC???**R?Q0?BKFC?A????0
**?R00??*?****P?10????1*****Q????P?0,Q?0,R?0,S?0,M?0,N?0，F,K是适维矩阵。 4．4基于LMI的鲁棒控制器设计
首先不加证明地给出两个LMI基本的转化公式： 定理1 (Schur补引理)给定矩阵
?QS?Q?Rr?r,S?Rr??n?r?,R?R?n?r???n?r?，?T?0 ?R??S当且仅当下面两式有一个成立即可
(1)R?0,Q?SR?1ST?0；(2)Q?0,R?STQ?1S?0。
定理2 (消元公式)给定G,U,V,G?Rn?n,U,V具有n行,存在X以致于
G?UXVT?UXTT当且仅当
??T?0
U?TGU??0 V?TGU??0
其中U?,V?为U和V的正交补，U?U,V?V?0。
鲁棒控制是目前应用LMI最多的领域,在H?控制理论中,要求系统的传递函数H?S?的无穷范数
有界实引理(Bounded-real lemma)描述了一个系统?A,B,C,D?的传递函数满足式(13)的条件是，当且仅当Riccati方程
?1TH?S???sup{H?S?/ReS?0}?1 ……(13)
?ATP?PA?CTC??PB?CTD??1?DTD??PB?CTD??0 ……(14)
有一个正定解P = PTP?PT?0。而式(14)是一个双线性不等式(QMI)问题。利用Schur补公式，式(14)的可解性等价于
?ATP?PA?CTCPB?CTD?P?0，?? ……(15) TTTBP?DCDD?I??的可解性。显见式(15)是一个标准的LMI问题，方程的变量是正定矩阵P。
下面详细研究基于LMI控制器设计方法，通过本节可以看到LMI理论在不确定性系统分析与综合中的应用，以及基于LMI方法解决问题的基本思路。设某一被控系统H和控制器G的结构如图2所示，
z
H y G u w
图2 反馈控制系统
被控系统数学模型为
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?x?Ax?B1w?B2u，z?C1x?D11w?D12u，y?C2x?D21w。 ……(16)
其中，x?Rn,u?Rp,y?Rq,z?Rr分别为系统的状态、输入、量测输出和控制输出，w为系统的干扰输入。设控制器为
xc?Acxc?Bcy，u?Ccxc?Dcy。 ……(17)
?其中xc?Rnc为控制器状态。经一定的推导，由式(16)和(17)构成的闭环系统为
?xci?Aclxcl?Bclw，z?Cclxcl?Dclw。 ……(18)
??Bcl?A???Dcl????C1其中xcl?xT?Txc?为闭环系统状态，各系数阵可以表示为
T?Acl?C?cl????B1??B2?????G?C2????D11???D12???D21? ……(19) ??式(19)右边各系数矩阵分别为
B20??A0B1???B1B2?0000I?????D11D12??C10D11D120? ……(20) ????TT?T?C0DDB21cc??2D21G?TT??0I?0CAcc??称式(18)，(19)，(20)为系统(16)和控制器(17)的标准闭环结构，其中G为控制器系数矩阵。H?控制器的设计目的是设计控制器G，使得闭环系统式(18)满足式(13)。
记系统式(18)从w到z的闭环传递函数为Tzw，一个H?控制器的定义如下。
???A??C??1?C??2??定义 给定标量??0，控制器式(11)被认为是一个H?控制器，如果下面两个条件
成立：
(1)Acl是渐近稳定的；(2)Tzw???。 下面给出基于LMI的控制器设计方法，该方法可以忽略掉原基于频域方法和基于Riccati方法对原系统许多假设条件。
引理1 设被控系统式(16)和控制器式(17)已给定，定义
?AclP?PAdT?BclBclTPCclT?BclDclT?Q??? ……(21) TTCdP?DclBclDclDcl?I??T R?I?DclDcl则下面两个条件是等价的。
(1)控制器式(17)是一个H?控制；(2)R?0，则存在P?0满足Q?0。
式(21)是有界实引理，显然不等式(21)含控制器式(17)的各系数阵G和正定阵P，并且由
T于BclBcl等项的出现，使得关于未知参数G和P是二次的，即式(21)是一个QMI问题,直接求解比较困难.利用矩阵理论可以将凸QMI问题转化为LMI问题,通常是首先用Schur补，可使不等式(21)的可解性等价于式(22)的可解性。
TT?AclP?PAclPCdBd???CP?IDdcl? ……(22) ?TT?BD?I?dd??将式(19)代入式(22)，注意到它对G的线性关系，经适当推导，不等式(16)的可解性又可
等价于
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BGC????0 ……(23) ??BGC的可解性。B,C,?的表达式为
T???B2???B??D12???*C????0??*?AP?PC1PB??T1???TPC?T1?ID?T11C2P0?B1??D11?? ……(24) ?I??0???其中，*是无关紧要的项。由式(24)可以明显地看出控制器G和正定阵P已经分开。进
一步利用矩阵消元法，则可将关于G的LMI式的可解性转化为定理2的条件。 引理2 设B,C,?，且B不行满秩，C不列满秩，则式(23)可解的充分必要条件是 B??B?T?0，CT?CT?0 ……(25) 其中B?为B的正交补，满足B?B?0，B?B?T?0。
显然,式(25)仅仅是以正定阵P为自变量的函数。但是因为C与P有关，故式(25)中的
??????T?C???C?T??0。一般还不是P的LMI问题，因此，不等式(25)有可能定义的是关于
P的非凸问题.为了求解这两个不等式，定义两个LMI的解集合如下。
??T?????????????????TTTT?XC1?B1D11??B2??2??AX?XA?B1B1?BLA??X?Rn?n;X?XT?0，?0?(26) ??????????D??D?TT??CX?DBDD?I12???12?11111111????T?T??T??????????????T???TTTT??C2??YA?AY?C1C1YB1?C1D11??C2??0?LB??Y?Rn?n;Y?YT?0，?……(27) ?????????????TTTTT??D21B1TY?C11C1D11D11?I??D21??????根据LA和LB两个解集合,则系统式(16)的H?控制器设计可由以下定理计算。
定理3 下面的叙述是等价的
(1)控制器（17）是一个H?控制器；(2)Lc??，即非空
???XI?Lc???X,Y??Rn?n:X?LA,Y?LB,??0? ……(28) ?IY????控制器G的阶次nc?rankX?Y?1。
相反，如果X和Y满足式(25)~(28)，于是满足式(25)的矩阵P存在，并可以构造为
X12??X ……(29) P??T?X22??X12?1T其中，X12，X22满足X12X12X12?X?Y?1,X22?0。
由以上推导可以看出，鲁棒控制器的求解转化为求解3个LMI问题。而LMI的求解可以借助Matlab所提供的LMI工具箱，系统的分析也可使用Matlab所提供的Robust和其他工具箱,可简化计算的复杂性。求解LMI的步骤如下：
(1)根据系统方程(16)，计算由(25)和(26)两式定义的两个LMI的解集合，计算出X,Y3；
??(2)由公式(28)和(29)，计算正定矩阵P?0；
(3)由P和方程(24)计算方程(23)中的各系数阵，并根据方程(23)解LMI，求出控制阵G； (4)由于控制阵G中含有一定的自由参数，因此可以根据控制器的特殊要求选定这些参数。
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