me2?ku?(1?r2)2?(2?r)2??21/2?????????n???(1?r2)2?(2?r)22me?nk???1/2
2me?n?r2k?(1?r2)2?(2?r)2?1/22me?n定义静位移为U0?，因此，
kUr2H(?)??U0(1?r2)2?(2?r)2??1/2?Ds?r2
P5.1 解答
5.1 用一个非常简单的模型来研究着陆的一架轻型飞机的冲击。如图所示，以一个线性弹簧的集中质量表示着陆的装置。当弹簧触到地面时，质量m具有一垂直下降速度V。接触时t=0，并令u(0)＝0。
(a)确定弹簧保持在接触地面时间内，质量的垂向位置u（t）的表达式； (b)确定弹簧回弹脱离地面接触的时间。
解：
1. 受力分析
－6－
根据初始条件：t?0,
?(0)?V，及上图可知，物体的受力图如右所示。 u(0)?0,u2. 运动微分方程
所以，根据受力图，其运动微分方程为：
???ku?mg mu
?? ku mu3. 垂向位置u(t)的解
u(t)?mg?A1cos?nt?A2sin?nt k根据初始条件，可得
A1??mg,kA2?V?n2,?n?k mmg
所以，u(t)?
mgV(1?cos?nt)?sin?nt。 k?n4. 弹簧回弹脱离地面的时间
当弹簧再次脱离地面时，其运动状态为：u(t1)?0,?(t1)??V,u??(t1)?g。因此，可u以任意选取一个运动量来求解脱离时间t1。这里，我们取速度量，则有
?(t1)?umg?nsin?nt1?Vcos?nt1??V k?gV?nsin?nt1?1?cos?nt1
tan?nt1??2?gV?n
t1??1??1g2tan????
?n?V?n?－7－
P9.2 解答
9.2 一均匀薄刚杆BC的质量m，长度L附在一均匀弹性梁AB上，设侧向位移很小。应用恰当的自由体图，确定A与B点的边界条件。
解：
1. A点的边界条件为固支，即
v(0,t)?0
?vx?0?0 ?x2. B点的边界条件
刚体的受力图如上所示。 对于端部剪力边界条件，
?3vSB?EI3?x?2v（注：2?tx?2L?2v?m2?tmL?3vx?2L?2?x?t2x?2L
L?3vx?2L?2?x?t2x?2L为刚杆BC的质心加速度）
对于端部弯距边界条件，
?2vMB?EI2?x1其中I?mL2
3
－8－
x?2L?2?v?I2()?t?xx?2L
P10.4 解答
解：
1． 特征方程
现拟采用如下通解形式
V(x)?C1sinh?x?C2cosh?x?C3sin?x?C4cos?x
两端边界条件为自由端，所以
d2V??dx2?x?0,x?L
?d3V?dx3??将边界条件代入通解表达式，可得
???C1?0?20??2????33?0??0???C2??0 ??2sinh?L?2cosh?L??2sin?L??2cos?L??C3??3???333?cosh?L?sinh?L??cos?L?sin?L?????C4?如果上面方程有非零解，则其系数行列式为零。化简后得特征方程：
?10(1?cosh?Lcos?L)?0
由此可见，本系统有零固有频率，而其非零频的特征方程为：
1?cosh?Lcos?L?02. 现确定零频率的个数。
－9－
??0
d4V?0。因此，我们可以假定解的形式为当??0时，根据自由运动微分方程（10.12），可得：4dxV(x)?a1?a2x?a3x2?a4x3。考虑边界条件，可知a3?a4?0。因此，零频率的振型为V(x)?a1?a2x。考察得到的振型函数可知，只可能存在2个相互正交的组合。相对应的，存在两
个零频率。
3. 求零频率的刚体模态（利用正交性）。 设V0?a1?a2x，V1?b1?b2x，则有：
?L0?AV0V1dx?0
LL2a1b1?(a1b2?a2b1)?a2b2?0
23由于L具有任意性，所以a2b2?0。因此可以设a2?0,b2?0。因此，上式变为：
b1?b22bL?0?b2??1 2LL2x)。可进一步，采用??AV2dx?1正规化方法，
0L所以，两个刚体模态为：V0?a1，V1?b1(1?求解a1、b1。通过计算得到：
a1?所以，正规化的刚体模态为
1?AL，b1?3 ?AL?0?4. 非零频率
1?AL，?1?32x(1?) ?ALL对于非零频的特征方程，只能采用数值的方法求解。结果是：?1?(4.731)2EI，4?AL?2?(7.854)2EI。 4?AL5. 振型
通过线性方程组，4个方程中的三个，我们可以得到弯曲模态的振型表达式（??0）
Vn(x)?An??sinh?nL?sin?nL??cosh?nx?cos?nx???cosh?nL?cos?nL??sinh?nx?sin?nx?? －10－