P11.26 解答
11.26 运用假定振型法求解悬臂梁的2－DOF模型。其中，自由端的变形v(t)和转角?(t)被定义为模型的广义坐标。相应的振型函数如下图所示。
解：
（a）推导基于如下一般多项式的形函数?1(x)和?2(x)。
?x??x??x??(x)?a?b???c???d??
?L??L??L?（b）推导此2－DOF模型的运动微分方程。
－11－
23解：（a）由图可知，对于?1(x)而言，有：
?1(0)?0;?1'(0)?0;?1(L)?1;?1'(L)?0.
?a?0?b?0???c?d?1 ?2c3d?0??L?L?a?0;所以，
b?0;c?3;d??2.
?x??x??1(x)?3???2??
?L??L?对于?2(x)而言，有：
23?2(0)?0;'?2(0)?0;?2(L)?0;'?2(L)?1.
?a?0?b?0???c?d?0 ?2c3d?1??L?L?a?0;所以，
b?0;c??L;d?L.
?x??x??2(x)??L???L??
?L??L?
（b）1．首先求形函数的二阶导数。
23?1\(x)?612x?3;2LL\?2(x)??26x?2 LL2．推导刚度和质量矩阵系数kij和mij。
k11??EI?0L??\2112EI?612x?dx?EI??2?3?dx?3
0L?L?LL2LL?612x??26x?6EI\k12?k21??EI?1\?2dx?EI??2?3????2?dx??2
00L??LL?L?L －12－
k22??EI?0L??\224EI?26x? dx?EI????2?dx?0L?LL?L2同样的，对于mij有：
23LL??x?x13???2m11???A?1dx??A??3???2???dx??AL
0035?L????L???L323??x?211?x????x??x???A?1?2dx??A??3???2?????L???L???dx???AL20210?L???L?????L?????L??L2m12?m21??023LL?1?x??x??2m22???A?2dx??A???L???L???dx??AL3
00105?L?????L??23．装配运动微分方程（因为没有外力，所以广义力为零）
11??13?L??v??(t)?2EI?6?3L??v(t)??0??35210?AL??????? 2??3???1112????LL???(t)?L??3L2L???(t)??0?105??210
P12.8 解答
P12.8一均匀悬臂梁采用如下假定振型简化为一2-DOF模型：
?x??x??1(x)???,?2(x)???
?L??L?（a）推导该2-DOF模型的运动微分方程；
（b）计算固有频率。并和精确解（例10.3）以及基频近似值（10.4）比较。
23
解：
（a）参考第11章例11.10的步骤建立运动微分方程
?x??x??1(x)???,?2(x)???
?L??L?23?1'(x)?2x2'',?(x)? 1L2L2－13－
3x26x?2(x)?3,?2\(x)?3
LL'
因此，
4EI6EI12EI,k?k?,k? 122122333LLL?AL?AL?ALm11?,m12?m21?,m22?
567k11?装配系统的运动方程（注意，这里没有外力，所以广义力为零。）
??1?2EI?23??u1??0??AL?4235??u???3?????? ?????2?L?36??u2??0?210?3530??u
（b）参考第12章例12.3的步骤解方程，得到固有频率 假设简谐运动为
代入运动方程，得
??23??U?0?2?4235??1??????i?????U??0? 363530?????2?????其中，
??2i?AL4420EI?i2
从系数的行列式得特征方程
(2?42?i2)(6?30?i2)?(3?35?i2)2?0
即
35?i4?102?i2?3?0
求解特征方程的根
?i2?0.0297,2.8846
利用??得到
2i?AL4420EI?i2
－14－
?1?3.531?EI???? ?AL2???34.807?EI? ??2??L??A?1212 ?2?和精确解对比（例10.3）
假定振型法的频率大于精确解的频率，并且所计算出基频的精度远大于第二频率。
与例10.4瑞利法基频比较
x?（例10.4 利用瑞利法计算均匀悬臂梁的近似基频。假定形函数为?(x)????） ?L?2
假定振型法的基频小于瑞利法的基频，精度高于瑞利法。
－15－