上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题
宝山区、嘉定区
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知平面直角坐标系xOy（如图7），直线y?x?m的经过点A(?4,0)和点B(n,3). （1）求m、n的值；
（2）如果抛物线y?x2?bx?c经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求sin?ABP的值；
（3）设点Q在直线y?x?m上，且在第一象限内，直线y?x?m与y轴的交点为点D，如果?AQO??DOB，求点Q的坐标.
24.解：（1） ∵直线y?x?m的经过点A(?4,0)
∴?4?m?0……………………1分
∴m?4………………………………1分
∵直线y?x?m的经过点B(n,3) ∴n?4?3……………………1分
∴n??1…………………………………………1分
（2）由可知点B的坐标为(?1,3)
∵抛物线y?x?bx?c经过点A、B ∴?2y O x 图7
?16?4b?c?0
?1?b?c?3∴b?6， c?8
22∴抛物线y?x?bx?c的表达式为y?x?6x?8…………………1分
2∴抛物线y?x?6x?8的顶点坐标为P(?3,?1)……………1分
∴AB?32,AP?2,PB?25
∴AB?BP?PB
∴?PAB?90?……………………………………1分
222AP PB10∴sin?ABP? …………………………………………1分
10（3）过点Q作QH?x轴，垂足为点H，则QH∥y轴 ∵?AQO??DOB,?OBD??QBO
∴△OBD∽△QBO OBDB∴……………1分 ?QBOB∵直线y?x?4与y轴的交点为点D ∴点D的坐标为(0,4),OD?4
∴sin?ABP?又OB?10，DB?∵AB?32
∴AQ?82,DQ?42 ∵QH∥y轴 ∴∴
2
∴QB?52，DQ?42……………1分
ODAD? QHAQ442 ?QH82∴QH?8 ……………………………………1分 即点Q的纵坐标是8
又点Q在直线y?x?4上
点Q的坐标为(4,8)……………1分
长宁区
24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）
如图在直角坐标平面内，抛物线y?ax?bx?3与y轴交于点A，与x轴分别交于点B（-1，0）、点C（3，0），点D是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）联结AD、DC，求?ACD的面积；
（3）点P在直线DC上，联结OP，若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．
2
备用图
第24题图
24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B（-1，0）、C（3，0）在抛物线y?ax2?bx?3上 ∴??a?b?3?0?a?1，解得? （ 2分）
?9a?3b?3?0?b??22∴抛物线的表达式为y?x?2x?3，顶点D的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴AC?32，CD?25，AD?2
222∴CD?AC?AD ∴?CAD?90? （ 2分）
∴S?ACD?11?AC?AD??32?2?3. （1分） 22ADAC??2， BOAO∴△CAD∽△AOB，∴?ACD??OAB
∵OA=OC，?AOC?90? ∴?OAC??OCA?45?
∴?OAC??OAB??OCA??ACD，即?BAC??BCD （ 1分）
（3）∵?CAD??AOB?90?，
若以O、P、C为顶点的三角形与△ABC相似 ，且△ABC为锐角三角形 则?POC也为锐角三角形，点P在第四象限
由点C（3，0），D（1，-4）得直线CD的表达式是y?2x?6，设P(t,2t?6)（0?t?3） 过P作PH⊥OC，垂足为点H，则OH?t，PH?6?2t
①当?POC??ABC时,由tan?POC?tan?ABC得PH?AO，
OHBO∴
6?2t6618?3，解得t?， ∴P(,?) （2分） 1t555②当?POC??ACB时,由tan?POC?tan?ACB?tan45??1得PH?1，
OH6?2t?1，解得t?2，∴P2(2,?2) （ 2分） t618(,?)或P2(2,?2) 综上得P155∴
崇明区
24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）
已知抛物线经过点A(0,3)、B(4,1)、C(3,0)． （1）求抛物线的解析式；
（2）联结AC、BC、AB，求?BAC的正切值；
（3）点P是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P作PG?AP交y轴于点G，当点G在点A的上方，且△APG与△ABC相似时，求点P的坐标．
24．（本题满分12分，每小题4分）
解：（1）设所求二次函数的解析式为y?ax?bx?c(a?0)，………………………1分
2y A B O C （第24题图） x ?16a?4b?c?1,?将A（0,3）、B（4，）、C（3,0）代入，得 ?9a?3b?c?0,
?c?3.?1?a??2?5?解得?b?? ………2分
2??c?3??所以，这个二次函数的解析式为y?125x?x?3 ……………………………1分 22（2）∵A（0,3）、B（4，）、C（3,0） ∴AC?32，BC?∴AC2?BC2?AB2
∴∠ACB?90? ………………………………………………………2分 ∴tan∠BAC?2，AB?25 BC21?? ……………………………………………2分 AC323（3）过点P作PH⊥y轴，垂足为H
设P(x,12515x?x?3)，则H(0,x2?x?3) 2222∵A（0,3） ∴AH?125x?x，PH?x 22∵∠ACB?∠APG?90?
∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能： 1° ∠PAG?∠CAB 则tan∠PAG?tan∠CAB?1 3即
x1PH1? 解得x?11 ………………………1分 ? ∴
125AH3x?x322∴点P的坐标为(11,36) ……………………………………………………1分 2° ∠PAG?∠ABC 则tan∠PAG?tan∠ABC?3
即
xPH17?3 解得x? …………………………1分 ?3 ∴
125AH3x?x221744,) ……………………………………………………1分 39∴点P的坐标为(奉贤区
24．（本题满分12分，每小题满分各4分）
已知平面直角坐标系xOy（如图8），抛物线y??x2?2mx?3m2(m?0)与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴 为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC． （1）当点C（0，3）时，
① 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； ② 求证：∠DCE=∠BCE；
（2）当CB平分∠DCO时，求m的值．
y1 o1 x图8