习题5解答
1.有放回地从装有一个白球和两个黑球的罐子里取球，令X?0表示取到白球，X?1表示取到黑球，写出容量为5的简单随机样本X1,X2,?,X5的联合分布的概率函数.
解 因为罐子里有1个白球和2个黑球，按有放回方式取球，则取到白球的概率
12P(X?0)?；取到黑球的概率P(X?1)?；如此连续的取5次球，则
33??xi?1?i?1?2?i?1， P(X1?x1,X2?x2,X3?x3,X4?x4,X5?x5)?????33????xi5?55其中xi?0,1,(i?1,2,?,5)
2.设总体X服从泊松分布P(?)，求容量为n的简单随机样本X1,X2,?,Xn的联合分布的概率函数.
解 因为X?P(?)，故P(X?k)??kke??,(k?0,1,2,?,n)，则
?xii?1nP(X1?x1,X2?x2,?,Xn?xn)??P(Xi?xi)??i?1i?1nn?xixi!e????e?n?i?x!i?1n
3.设总体分布是区间(a,b)的均匀分布，写出容量为5的简单随机样本X1,X2,?,X5的联合概率密度函数.
?1,a?x?b,?解 因为X?U(a,b)，故f(x)??b?a，
??0, 其它则f(x1,x2,?,x5)??i?15?1,a?xi?b,(i?1,2,?,5)5?f(xi)????b?a?
?0, 其它?4.设抽样得到的样本观测值为：
38.2，40.0，42.4，37.6，39.2，41.0，44.0，43.2，38.8，40.6. 计算样本均值、样本方差、样本标准差与样本二阶中心矩.
1101102解 样本均值 x?xi?40.5,样本方差s??(xi?x)2?4.66 ?9i?110i?1110样本标准差s?(xi?x)2?2.1587, ?9i?1110样本二阶中心矩 b2?(xi?x)2?4.194 ?10i?15.在某苗圃园随机抽取40株苗木，测得苗高（单位：cm）如下： 283,292,320,275,276,300,252,220,281,310,243,138,291,260, 262,169,252,165,241,310,261,325,295,300,270,264,135,343, 190,244,275,314,164,185,144,258,141,221,230,230 求样本均值，样本方差和样本标准差.
140解 样本均值 x?xi?248.225 ?40i?1140样本方差 s?(xi?x)2?3160.58 ?39i?12140样本标准差s?(xi?x)2?56.219 ?39i?16.在第5题中，求样本频数频率分布表，作样本频率直方图. 解 略
?未知，X7.设总体X～N(?,?2)，其中?已知，
2
1,X2,X3是从中抽取的简单随机样本，
指出下列各项中哪些是统计量？哪些不是统计量，为什么？
1222(X?X?X)(X1?X2?X3) ，，，X?3?max(X,X,X)231123?2131222解 统计量必须是不含有任何未知参数的量，在上述四项中，由于2(X1?X2?X3)含有
1?了未知的参数?，故不是统计量.
2?X1?X2?的抽样分布. 8.设X1,X2是取自总体N(0,?)的简单随机样本，求统计量2?X1?X2?22解 因为X1,X2服从正态分布N(0,?2)且相互独立，故X1?X2?N(0,2?2)，
X1?X2?N(0,2?2)，所以有2X1?X2X?X2?N(0,1),1?N(0,1); 2?2?2?X?X2??X1?X2?22根据式（5.2.9）有?1??(1),?????(1);
2??2?????X1?X2?2??X1?X2??2???故 ??F(1,1) 22?X1?X2??X1?X2???2???9.设总体X～N(?,?2)，从中抽取样本X1,X2,?,Xn，记样本均值为X，样本方差为S，若再抽取一个样本Xn?1，证明：统计量22nXn?1?X～t(n?1).
n?1S证明 因为X～N(?,?2n)，Xn?1～N(?,?2)，
2所以有Xn?1?X～N(0,???2n)，Xn?1?X～N(0,1)，
n?1?n又因为
(n?1)S2?2～?2(n?1)，根据式（5.2.13）有：
Xn?1?Xn?1?n(n?1)S2?nXn?1?X～t(n?1)
n?1S?2(n?1)2210.查表求?0.01(12),?0.99(12),t0.01(12),t0.99(12),F0.01(10,12),F0.99(10,12)的值. 22解 查附表4，?0.01(12)?26.217,?0.99(12)?3.571；
查附表5，t0.01(12)?2.681,t0.99(12)??2.681； 查附表6，F0.01(10,12)?4.30,F0.99(10,12)?11??0.21
F0.01(12,10)4.7111.设T～t(10)，求常数c，使得P(T?c)?0.95.
解 查附表5，因为P(T?1.182)?0.05，则P(T??1.182)?0.95，所以c??1.812 12.设X1,X2,?,X5是独立且服从相同分布N(0,1)的随机变量，
(1)试给出常数c，使得c?(X12?X22)服从?分布，并指出它的自由度；
2(2)试给出常数d，使得d?X1?X2X3?X4?X5222服从t分布，并指出它的自由度.
解 （1）因为X1,X2独立且服从N(0,1)，根据式（5.2.9）有:
X12?X22??2(2)，所以c?1，自由度为2.
（2）因为X1,X2,?,X5独立且服从相同的分布N(0,1)，所以有X1?X2?N(0,2)，
X32?X42?X52??2(3)，则根据式（5.2.13）有X1?X22?t(3)， 222X3?X4?X53所以d?3，自由度为3. 213.设总体X服从正态分布N(?,52)，
（1）从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值X与总体均值?之差的绝对值小于1的概率P(X???1)；
（2）抽取样本容量n为多大时，才能使概率P(X???1)达到0.95？
52解 （1）因为X?N(?,5)，则从总体中抽取容量为64的样本有X?N(?,)，所以
642P(X???1)?P(
X??88?)??()?0.8904. 552564（2）当抽取样本容量为n时，要使得
P(X???1)?P(X??nn?)??()?0.95， 5525n查附表1得n?1.645，所以n?96. 5214.从正态总体N(?,0.5)中抽取容量为10的样本X1,X2,?,X10， （1）已知??0，求
?Xi?1102i?4的概率；
（2）未知?，求
??Xi?X??2.85的概率.
i?1102?X?0?2解 （1）当??0时，因为Xi?N(0,0.5，)则??i??(10)，所以?i?1?0.5?2102?10?Xi?0?2??102?2P??Xi?4??P????16?P(??16)，查附表4得上述概率为0.1. ?????i?1??i?1?0.5??
?X?X?2??(9)， （2）当?为未知时，因为Xi?N(?,0.5)，则??i?0.5?i?1?2102?10?X?X?2?2?10?i?10.4??P??2?11.4?， 所以有P???Xi?X??2.85??P?????i?1?0.5???i?1???2查附表4得P??11.4?0.25，故上述概率为0.75.
??15.设总体X?N(50,62)，总体Y?N(46,42) ，从总体X中抽取容量为10的样本，从总体Y中抽取容量为8的样本，求下列概率：
?S12?（1）P?0?X?Y?8?；（2）P?2?8.28?
?S2?解 （1）因为U?(X?Y)?(50?46)6242?108?X?Y?4?N(0,1) 5.6所以有P0?X?Y?8?P????0?4X?Y?48?4??????(1.69)??(?1.69)
5.65.6??5.6?2?(1.69)?1?0.909
S12/624S12（2）因为F?22?~F(9,7) 2S2/49S2?S12??4S12?所以有P?2?8.28??P??3.68??P?F?3.68? 2?S2??9S2?查附表6得F0.05(9,7)?3.68，即P?F?F0.05(9,7)??P?F?3.68??0.05
?S12?由此得所求的概率P?2?8.28??P?F?3.68??1?P?F?3.68??0.95
?S2?216.设总体X?N8,2，抽取样本X1,X2,?,X10，求下列概率：
??（1）P?max(X1,X2,?,X10)?10?；（2）P?min(X1,X2,?,X10)?5? 解 （1）P?max(X1,X2,?,X10)?10??1?P?max(X1,X2,?,X10)?10?
?1?P?X1?10,X2?10,?,X10?10??1?P?X1?10??P?X2?10????P?X10?10?
2因为X?N8,2，所以有P?Xi?10??P????Xi?810?8?????(1)?0.8413，
2??2故原式=1?0.8413?0.8224.
（2）P?min(X1,X2,?,X10)?5??1?P?min(X1,X2,?,X10)?5?
10 ?1?P?X1?5,X2?5,?,X10?5??1?P?X1?5??P?X2?5????P?X10?5?， 又P?Xi?5??1?P?Xi?5??1?P?故上式=1?0.9332?0.4991.
10?Xi?85?8????1??(?1.5)?0.9332， 22??