1. 证明方阵A与A有相同的特征值。（5分） 证明: 因为
T
所以
与A的特征多项式相同，从而
与A的特征值相同。
2. 设方程A有特征值2和-1，
分别是对应的特征向量。试将向量线性组合，并求
。 （5分）
和
，
表示成与的
解：设,解方程组易得s=-1,t=-2,从而
. 3.设方阵A满足
证明A的特征值是0或1。（5分）
证明: 设λ是方阵A的任意一个特征值，X≠0是A的属于λ的特征向量，即 AX=λX .等式两边左乘A，利用A2=A，得到 AX=A2X=A(λX)=λAX=λ2X=λX, (λ2－λ)X=0. 由于X≠0 ，于是λ2－λ=0 , 即 λ=0或λ=1。
4.求下列方阵的特征值及对应的线性无关特征向量： （10分）
（1） (2)
5.设 是方阵A的两个不同的特征值， 的特征向量。证明：
分别是对应于
不是A的特征向量。（5分）
证明：反证法，假设A(得（这与所以
)=(-）+（≠
是A的特征向量，则有 ),即A
+A
===
+
-）=0 推得
相矛盾，
不是A的特征向量
。（5分）
6.设可逆方阵A 与B相似，证明：
证明:因为A，B均为可逆矩阵，且A～B ，则存在可逆矩阵C， 使得C－1AC=B，于是
B－1=(C－1AC)－1=C－1A－1(C－1)－1= C－1A－1C 即A－1～B－1。
7.第4题中哪些矩阵可对角化？哪些矩阵不能对角化？并对可对角化的矩阵A,求一个可逆矩阵P,使
成为对角矩阵。 （5分）
解: |A-λE|=(2-λ)(3-λ)^2. 所以A的特征值为2,3,3
(A-2E)X=0 的基础解系为 a1=(1,0,0)'.
(A-3E)X=0 的基础解系为 a2=(0,1,0)',a3=(-2,0,1)'. 令矩阵P = (a1,a2,a3), 则P为可逆矩阵, 且 P^-1AP = diag(2,3,3). 8.设方阵A满足
求A及
其中 . （5分）
解：由题意可知，矩阵A的特征值为1，0，-1，对应的特征向量为
，根据特征向量的性质知
（）可逆，得A()=
可得A=（）
=
得A=
=
9.设A为3阶方阵，已知方阵E-A , E+A,3E-A都不可逆。问A是否相似于对角矩阵？为什么？ （10分） 证明：因为 A-E,A+E,A+3E 均不可逆
所以 |A-E|=0,|A+E|=0,|A+3E|=0 所以 A 有特征值 1,-1,-3
而A是3阶方阵,故 1,-1,3 是A的全部特征值 所以 |A| = 1*(-1)*(-3) = 3。 10.已知
（5分）
解：因为所以
=
·
=2
+
-2×3
-3
即
=1，
=1，
求内积
=2×2+1-6×3-3×(-1)=-10 11.求一个与
都正交的单位向量。 （5分）
解：设要求的向量为, 则 可得。
也是正交矩阵。（5分）
,再将该向量单位化，即得
12.设A为正交矩阵，证明：A的伴随矩阵
1
证明 由A?1?1A*? 得A*?|A|A?? 所以当A可逆时? 有
|A| |A*|?|A||A?|?|A|??0?
n1
n1
从而A*也可逆?
因为A*?|A|A?? 所以
1
(A*)??|A|?A?
1
1
?1?1又A?1(A)*?|A|(A)*? 所以 ?1|A| (A*)??|A|?A?|A|?|A|(A?)*?(A?)*?
1
1
1
1
1
13.设方阵 ,其中E为n阶单位矩阵，
为n维单位向量。
证明：A为对称的正交矩阵。 （10分） 证明：对称性易证；正交性可以根据
证得。
14.求正交矩阵P,使 分）
成为对角矩阵，其中A为： 。（10
解：对A作特征值分解，则特征向量构成了正交矩阵P。
215. 求二次型f(x1,x2,x3)?x12?3x2并写出所作的非?2x1x2?6x2x3的标准形，
退化线性代换. （10分） 解:对二次型f进行配方得