由感应电量公式可得 Q?解得
111(?1??2)?(NB?r2?0)?NB?r2 RRRRQ10???10?6 B???0.01T
N?r210?3.14?(0.01)2
习题11—11 两个半径分别为R和r的同轴圆形线圈相距x，且R>>r，x>>R。若大线圈通有电流I而小线圈沿X轴方向以速率v运动，试求x=NR时(N为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小。
解：由于R>>r，x>>R，由大线圈中的电流I在小线圈处产生的磁场可以视为均匀场，其大小为
B??X v r x I R O 习题11―11图
?0?0IR2?IR ?2?23222324?(R?x)2(R?x)22因此，穿过小线圈的磁通量为
???0?0?IR2r2IR22 ??B?S? ???r?2(R2?x2)322x3由于小线圈的运动，在小线圈中产生的感应电动势为
d?3?0?IR2r2dx3?0?IR2r2????v ?i??44dtdt2x2x当x=NR时，小线圈回路内的感应电动势为
3?0?Ir2v?i?
2N4R2
习题11—12 两相互平行无限长的直导线载有大小相等方向相反的电流，长度为b的金属杆CD与两导线共面且垂直，相对位置
?如图。CD杆以速度v平行于直线电流运动，求CD杆中的感应电动势，并判断C、D两端哪端电势高？
解：建立图示坐标系，X轴水平向右，原点O在左边直导线处。在CD杆上任一点x处、由两平行无限长的直电流产生的磁感
I I
C v
D
?a a b 习题11―12图
应强度(规定垂直于纸面向外为正)为
B(x)??0I2?(x?a)??0I 2?x???在CD上x处取线元dl，其方向C→D，即dl?dxi。在该线元的元电动势为
??? d?i?v?B?dl?vB(x)dx 整个CD杆中的感应电动势为
?i??d?i??0Iv2a?b?1?0Iv1?2(a?b) ?dx??ln??2??2a?x?ax?2?2a?b?i的方向C→D，因此，D端电势高。
?［注意：为了判断某导体动生电动势的方向，我们应当先在其上取一线元dl并规定该线元的方向。若最终计算出来的动生电动势?i>0，则说明?i的方向与我们所取线元的方向相同；反之，若?i<0，则说明?i的方向与我们所取线元的方向相反。］
习题11—13 如图，一长直导线中通有电流
?v I，有一垂直于导线、长度为l的金属棒AB
?在包含导线的平面内，以恒定的速度v沿与θ A B
I 棒成?角的方向移动。开始时，棒的A端到
导线的距离为a，求任一时刻金属棒中的动生a l 电动势，并指出棒哪端电势高。
解：在任一时刻t，金属棒的A端距长直
习题11―13图
导线为
s?t l?a?(vco?)?这时在棒上任取一线元dl，其方向A→B，该线元距长直导线为l，线元的元电动势为
??I??d?i?(v?B)?dl?vBdlcos(?2??)??vBdlsin???v0dlsin?
2?l整个AB棒中的动生电动势为
?i??d?i????a?l?vtcos?dl?0Ivsin??
a?vtcos?2?l?0Iva?l?vtcos?sin?ln 2?a?vtcos?由于?i<0，所以?i的方向B→A，A点电势高。
［注意：电动势具有瞬时性，作题时一定要明确所求的电动势是哪一时刻的。］
?习题11—14 均匀磁场B被限制在半径R=10cm的无限长圆柱空间内，方向垂直纸面向里。取一固定的等腰梯形回路abcd，梯形所在平面的法向与圆柱空间的轴平行，位置如图所示。设磁场以dBdt?1T/s的匀速率增加，已知???3，Oa=Ob=6cm，求等腰梯形回路中感生电动势的大小和方向。
解：取等腰梯形回路的环绕方向为顺时针的，
?即等腰梯形回路所围成的面积的法向与B方向c 相同。通过该回路所围成的面积的磁通量为 R b ??1???1??B?S?B??R2??(Oa)2cos?
26??2θ?a B d
习题11―14图
?B?(0.5?0.102???3?0.5?0.062?32)
?3.67?10B
?3根据法拉第电磁感应定律，等腰梯形回路中的感生电动势为
d?dB?i????3.67?10?3???3.67?10?3?1??3.67?10?3V??3.67 mVdtdt该结果说明，回路中的感生电动势的大小为3.67mV；由于?i<0，所以回路中感 生电动势的方向是逆时针的。
［注意：事先假设回路的绕行方向有两个方面的意义：一是规定回路所围成面 ?积S的法向，以便正确计算通过该回路所围成面积磁通量；二是为判定回路中的 感生电动势的方向提供参照：若最终算出的感生电动势?i>0，则说明?i的方向与 原来假设的回路绕行方向相同；反之，若?i<0，则说明?i的方向与原来假设的回 路绕行方向相反。以上两条是应用法拉第电磁感应定律计算?i必要前提。］
习题11—15 一无限长直导线通有电流 I?I0e?3t。一矩形线圈与长直导线共面 放置，其长边与导线平行，位置如图所示。求：(1) 矩形线圈中的感应电动势的大小及感应电流的方向；(2) 导线与线圈的互感系数。
解：(1) 设矩形线圈回路的绕行方向为顺时针的。在线圈内距长直导线为x处取宽度为dx、长度为l的矩形窄条面积，则通过该窄条面积的元磁通量为
I a b l
习题11―15图
???I(t)?0?ldx d??B?dS?BdS 2?x通过整个矩形线圈的磁通量为 ???d???0I(t)lbdx?0I(t)lb???ln a2?x2?a所以，矩形线圈中的感应电动势为 ?i???lbdI(t)?lbd3?Ild?b??0ln???0ln?(I0e?3t)?00e?3tln dt2?adt2?adt2?a因为?i>0，所以该结果就是矩形线圈中感应电动势的大小；并且仍然因为?i>0， 该感应电动势的方向为顺时针的，相应的感应电流亦为顺时针方向的。
(2) 根据定义，导线与线圈的互感系数为 M??I??0lbln 2?a[注意：在计算磁通量时，我们只对空间进行积分运算。由于电流I(t)只是时间t 的函数，与空间无关，所以完全可以把它作为常数而从积分号内提出来。］
习题11—16 如图，在铅直面内有一矩形导c d ??体回路abcd置于均匀磁场B中，B的方向? B 垂直于回路平面。abcd回路中的ab边的长
为L，质量为m，可以在保持良好接触的情a l，m b 况下下滑，且摩擦力不计。ab边的初速度为零，回路的电阻集中在ab边中。(1) 求任一时刻ab边的速率v和t的关系；(2) 设两竖
习题11―16图
直边足够长，最后达到稳定的速率为若干？
解：(1) 设任一时刻t，ab边的速率为v，这时ab边所受的外力除了其自身
??的重力mg外，还有磁场力Fm，因此，根据牛顿第二运动定律我们有
dv mg?Fm?mg?BIL?m ①
dt式中I为由于ab边运动切割磁力线而在回路中产生的感应电流。其大小为
BLv I? ②
R把②代入①可得
dvB2L2?g?v dtmR把上式进行分离变量并积分
?v0tdv?dt 22?0BLvg?mRmgR?B2L2?得 v?22?1?exp?(t)?
mRBL??这就是任一时刻ab边的速率v和t的关系。
(2) 当t足够大，相当于t→∞，则有
mgRv稳?22
BL这就是ab边最后达到稳定的速率。
习题11—17 如图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度?在水平面内旋转。O1O2在离细杆a端L/5处。若已知地磁场在竖直方向的分量为B。求ab两端的电势差Ua?Ub。
解：在细杆上距O点为l处取线元dl，方向a→b，其上产生的元电动势为
??? d?i?v?B?dl?vBcos? 细杆上的总电动势
?ab??d?i??4L50O1 ? B a O b
?L/5 O2 习题11―17图
vBdlco0?s??vBdlco?s
?L50?L50??B??4L50ldl??B?ldl
813?BL2??BL2??BL2 255010?ab?0，说明细杆上的总电动势的方向为a→b，即 Ua 势差为 Ua?Ub???ab??3?BL2 10 习题11—18 一无限长直导线通以电流I?I0sin?t，和直导线在同一平面内有一矩形线框，其短边与直导线平行，线框的尺寸及位置如右图所示，且b/c=3。求：(1) 直导线和线框的互感系数；(2) 线框中的互感电动势。 解；(1) 设矩形线框回路的绕行方向 I=I0sinωt a c b 习题11―18图