为顺时针的，则线框回路所围面积的法向垂直纸面向里。在距长直导线为r处取宽度为dr、长度为a的窄条面元dS，通过其元磁通量为
???Id??B?dS?BdScos??0cos??adr
2?r?式中?为面元法向(垂直纸面向里)与磁感应强度B方向间的夹角。通过整个线框
回路所围面积的磁通量为 ???d?? ?c?0Ia?bdr??dr cos0??cos?????002??rr???0Ia?bdrcdr??0Ia?0drbdr? ???????????00c02??rr?2??rr??0Iabdr?0Iab?0Ia?ln?ln3 ?c2?r2?c2??因此，直导线和线框的互感系数
M??0aln3 2?(2) 根据互感电动势公式可得线框中的互感电动势为 ?M??M?Ia?dId??M(I0sin?t)??00(ln3)cos?t dtdt2?此电动势是交变电动势，其大小和方向都随时间作周期性变化。
［注意：①先规定某一回路所围面积的法向，是正确计算通过该面积磁通量所必需的步骤，特别是在回路面积内的磁场方向不尽相同时，这样作更为必要。②对两个载流体系，若能算出它们之间的互感系数，则可以应用互感电动势公式求出其中某一个体系内的电动势，这也是一种常见的方法。］
习题11─19 一无限长载有电流I的直导线旁边有一与之共面的矩形线圈，线圈的边长分别为l和b，l边与直导线平行。线圈以速?度v垂直离开直导线，如图所示。求当矩形
?I
v 线圈与无限长直导线间的互感系数
M??0l(2?)时，线圈的位置及此时线圈内
的感应电动势的大小。
解：设任一时刻t矩形线圈的左边距无限长直导线为x ，在线圈内、距无限长直导线为r处取宽度为dr、长度为l 的窄条面元dS，这时通过该面元的元磁通为
l b 习题11―19图
???Ildr d??B?dS?Bldr?0?
2?r通过整个矩形线圈所围面积的磁通量为
?(x)??d???0Ilx?bdr?0Ilx?b?ln ?x2?r2?x此时矩形线圈与无限长直导线间的互感系数为 M(x)??I??0lx?bln 2?x令此互感系数为 M?则有 ln?0l 2?x?b?1 xb解得 x?
e?1在任一位置x处，矩形线圈内的感应电动势为
?i???Ildx?b?0Ildbv(MI)??0?ln ??dt2?dtx2?x(x?b)b e?1把 x?代入上式可得
?0I(e?1)2vl?i?
2?eb［注意：在此题中长直导线与矩形线圈间的互感系数M不是常数，而是矩形线圈位置x(因而是时间t)的函数，所以在第二步求互感电动势时对互感系数M也要求导。］
习题11─20 在半径为R的圆柱形空间内，充??? B 满磁感应强度为B的均匀磁场，B的方向与圆
柱的轴平行。有一无限长直导线在垂直于圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a>R，如图
a 所示。已知磁感应强度随时间的变化率为
dBdt，求长直导线中的感应电动势并讨论其
习题11―20图
方向。
解法Ⅰ：在垂直于圆柱中心轴线的平面内，取一平行于题给无限长直导线的另一根无限长直导线，它在圆柱形空间上方、距圆柱中心轴线也是a。设这两条无限长直导线在无限远处相连并形成闭合回路L，该回路L的绕行方向为顺时针
R O 的，因而其法向垂直纸面向里。根据法拉第电磁感应定律，回路L内的感应电动势为
d?ddB??(B?R2)???R2 dtdtdt原题给无限长直导线中的感应电动势应当为整个回路L内的感应电动势之一半，即
11dB???i???R2
22dt此感应电动势的大小为
?i?????R212dB dt对该感应电动势的方向讨论如下：当dBdt?0时，?i?0，这时因整个L回路的感应电动势?i是逆时针的，因此?的方向是自左向右的；当dBdt?0时，?i?0，这时因整个L回路的感应电动势?i是顺时针的，因此?的方向是自右向左的。
解法Ⅱ：如图所示，取O到无限长直导线的垂直线之交点O?坐标轴原点，
?在无限长直导线上距O?为l处取线元dl，其方向自左向右；同时假设圆柱形空
??间内的磁场是随时间增加的，即dBdt?0，线元处的涡旋电场Ein与dl的夹角为?，根据感生电动势的定义可得线元上的电动势为
???R2dB??dlco?s d??Ein?dl?Ein?dl?co?s? 2rdt由于
l?atg?， dl?所以
d??12dBR??d? 2dtad?ar?，及 2cos?cos?因此，长直导线中的感应电动势为
1dB?21dB??d???R2? ???d??R2? ??22dt2dt显然，该感应电动势的大小为
???R212dB dt?其方向讨论如下：当dBdt?0时，??0，?方向与线元dl方向相同，是自左向
???0右的；反之，当dBdt?0时，，?方向与线元dl方向相反，是自右向左的。
［注意：在解法Ⅱ中用涡旋电场积分求电动势的前提是涡旋电场的分布为已知。在dBdt的正负未知的情况下，事先假定dBdt?0，可以给计算带来方便。］
习题11—21 截面为矩形的螺绕环共N匝，尺寸如图所示。图下部两矩形表示螺绕环的截面。在螺绕环的轴线上另有一无限长直导线。
(1) 求螺绕环的自感系数；
(2) 求长直导线和螺绕环的互感系数； (3) 若在螺绕环内通以稳恒电流I，求螺 绕环内储存的磁能。
解：(1) 螺绕环内的磁感应强度分布为 B?a h b 习题11―21图
?0NI (a ???NIhbdr?0NIhb ???B?dS??BdS?0?ln ?a2?r2?aS螺绕环的自感系数为 N??0N2hb??ln L?II2?a? (2) 设长直导线中通有电流I?，该电流在螺绕环中产生的场为 B??通过螺绕环截面的磁通量为 ???BdS?长直导线和螺绕环的互感系数为 M??0I? 2?r?0I?hbdr?0I?hb?ln ?a2?r2?a?I??N??0Nhb?ln I?2?a(3) 由自感磁能公式可得螺绕环内储存的磁能为 12?0N2hI2bln Wm?LI?24?a［注意：只有对于两个特殊的载流体系的互感系数才可以通过计算求得(一般情 况下只能通过实验测定)，由于它们的磁场相互穿过对方，原则上计算它们中的哪一个的磁通量都可以，可视计算方便而定。］ 习题11—22 图中所示为水平面内的两 +条平行长直裸导线LM与L?M?，其间距ε0 – 离为l，其左端与电动势为?0的电源连接。 ?r 均匀磁场B垂直于图面向里。一段直裸导线ab 横嵌在平行导线之间(并可保持在导线间无摩擦地滑动)把电路接通。由于 a v ?? B b 习题11―22图 磁场力的作用，ab将从静止开始向右运 动起来。求： (1) ab能达到的最大速度v； (2) ab达到最大速度时通过电源的电流I。 解：(1) 设ab运动起来以后任一时刻t的速度为v，根据全电路欧姆定律，这时在回路L?baLL?中的电流为 1 i?(?0?Blv) ① r裸导线ab所受到的磁场力为 1 F?iBl?(?0?Blv)Bl ② r依牛顿第二定律有 1dv F?(?0?Blv)Bl?m ③ rdt把上式分离变量再积分 ?vdvB2l2()?()vrmrm0?0Bl??dt 0t得 B2l2?p(t)? ④ v(t)??1?ex?Bl?mr??0?令t →∞，则可得ab能达到的最大速度为 vm??0Bl ⑤ (3) 把⑤代入①可得ab达到最大速度时通过电源的电流 I?0 ⑥ [注意：本题第一问还可以通过力的分析求得：导体ab在运动过程中受到两个方向相反的力的作用，一个是电源?0电流因起的安培力F1?Bl?0r，方向向右；另一个力则是ab中出现的感应电流所受的安培力F2?B2l2vr，方向向左。ab运动开始时由于v较小，使F2