第九章直线、平面、简单几何体
9.1 平面
一、学习目标
1、平面的基本性质，会画图表示平面；
2、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系；
3、会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理，能用公理及推论解决有关问题；
4、通过对公理、推论的理解和应用及三个推论的证明，提高学生的逻辑推理能力；
5、通过画图，逐步培养自已的空间想象能力，使自已在已有的平面图形知识的基础上，建立空间观念；
6、通过对平面基本性质的三个公理、三个推论的学习，认识我们所处的世界是一个三维空间，由此培养学生的辨证唯物主义世界观；
二、内容综述
1、知识结构： 平面的基本性质 平面的概念 （三个定理三个稚 平面性质的应用 推论）
2、平面的概念
“平面”是一个只描述而不定义的最基本的原始概念，对这一概念应理解三点：（1）“平面”是平的；（2）“平面”无厚度；（3）“平面可以向四面入方无限延伸（与一条直线可以向两方无限延伸一样），因此，平面是无边界的。
通常我们画出直线的一部分来表示直线．同样地，我们也可以画出平面的一部分来表示平面．当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都很像平行四边形．因此，通常画平行四边形来表示平面（图1）．当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成 ，横边画成邻边的2倍长．当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮部分的线段画成虚线或不画（图2）．有时根据需要也可用其他平面图形（例如三角形等）表示平面．
平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示，如平面α平面β平面γ等，也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（如图1） 3、平面的基本性质：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
公理1是判定直线在平面内的依据。
相关符号：点P在直线m上记为P∈m；点P不在直线m上记为P?m；直
线m在平面α内记为m??； 直经m不在平面α内记为m??
（2）公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线
公理2是两个平面相交于一条直线的依据以及证明若干点共线的依据； 相关符号；若平面α与平面β相交于直线m记为????m
（3）公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面； 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3及三个推论是确定平面的依据。
三、重难点分析
重点：平面的相关概概念及基本性质；
难点：平面的基本性质的应用及建立空间概念、正确应用符号语言；
1、平面和点、直线一样是构成空间图形的基本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念．本节内容主要介绍了平面的有关概念及其基本性质（三个公理和三个推论）．平面的基本性质是研究空间图形的基本理论基础，是立体几何的基础核心，因而是本节内容的重点．本节的难点是准确理解平面的有关概念及其基本性质，建立空间概念，正确使用图形、符号、文字三种数学语言并能互译。
2、如何理解“平面四边形表示的平面是无限延展的”？这是因为立体几何中表示平面是采用“用有限的图形表示无限的平面”的方法．事实上，如果一条直线上有两个点在一个用平行四边形表示的平面内，根据公理1,这条直线上所有的点都落在这个平面内．而直线是无限延伸的，倘若这个平面是有限的，那么无限的直线上的所有点怎么能都在有限平面内呢？对于平面的概念注意从三个方面加深理解：无边界性、无限延展性、无厚薄性。
3、平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，学习时应切实注意以下几点：（1）会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理；（2）熟悉三个公理的作用．公理1是判定直线在平面内的依据，亦作为判定点在平面内的方法使用；公理2是判定两个平面相交的依据，亦作为判定几个点在两个相交平面的交线上（共线）的方法使用；公理3是确定一个平面的依据，亦作为判定几个点共面的依据．（3）学习公理3及三个推论时务必透彻理解“有且只有一个”的含义．“有且只有一个”是由“有一个”和“只有一个”复合而成的，其中前者说明对象是存在的，后者说明对象是唯一的．“有且只有一个”说明对象具有存在性和唯一性两个方面．数学中的一些对象具有存在性和唯一，也有一些对象具有存在性而无唯一性，如与给定的三角形 相似的三角形是存在的，但不是唯一的．当然，还有一些对象没有存在性，从而也就谈不上有唯一性．因此切不可用“只有一个”代替“有且只有一个”．
4、图形对于分析空间的元素的位置关系、展开想象、探索解题思路是至关
重要的，因此应重视两个问题：一是画图与识图，即能正确运用实、虚线画出结构合理的直观示意图，能正确识别空间元素点、线、面的位置关系。二是要重视改变视角的非常规位置的画图训练（如倒置或横、竖位置等），借助图形思考，能正确判定空间图形位置，形状及存在的数量关系寻找解题思路或途径。
四、例题分析
例1：三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
分析：本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：
答案：D．
反思：本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯．
例2：求证每两条都相交直线不共点的四条直线共面。
分析：两两相交但不共点，有两种情形（1）无任何三条共点（2）其中三条直线共点但四条不共点。
证明：设a、b、c、d四条直线不共点又两两相交，有两种情况。 α β c d M Q b b 图乙c d 图甲 a （1）无任何三条线共点（如图甲） N P a 不妨设a、b确定平面α，由于a、b、c、d两两相交，所以c、d必与a、b相交，设d与a、b分别交于P、Q；∴P∈a，Q∈b，P∈α，Q∈α∴d??同理可证c??，故a、b、c、d共面。
（2）其中有三条共点。不防设b、c、d三直线相交于M，a与b、c、d分别相交于Q、P、N三点，且M?a，则M和a确定平面β，由N∈a得N∈β，又由M∈c，N∈c，得c??，同理可证d??,b??，故a、b、c、d共面。综上，两两相交且不共点的四条直线共面。
反思：1、空间点线面的位置关系应考虑全面。
2、证明共面的方法有：①先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内；②过有关的点、线作多个平面，再证明这些平面重合；③反证法。
例3：已知△ABC三边所在直线分别和平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R
A 三点共线。
C
分析：主要考查证点共线的方法
B R 证明：如图：A、B、C三点不在同一直线上， l 所以过A、B、C三点有一个平面β，又 Qα P AB∩α=Q，AB??，故点Q既在β内又在α内， 设α∩β=l，且Q∈l，又AC??，AC∩α=R，所以点R既在内又在内。 R∈l。同理可证P∈l，故P、Q、R三点共线。
反思：论证诸点共线题型，基本途径是选证。这些点是某两个平面的公共点，然后依据公理2判定这些点在一条直线上。
例4：正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB中点，F为AA1中点，求证：CE、D1F、DA三
C1 线共点。 D1 证明：∵EF∥CD1
B1 ∴分别连接D1F、CE并延长交于点P，
A1 ?∵D1F平面A1D1DA，∴P∈平面A1D1DA；
D C 又CE?平面AC，∴P∈平面ABCD F ∵平面A1D1DA∩平面ABCD=AD，
∴P∈AD；∴CE、D1F、DA三线共点。
A E B 反思：证明线共问题，一般是先证其中两条线交 于一点，再证明这个点在其它的线上，主要 P 公理2。
例5：从空间一点出发的n条射线，最多可以确定几个平面？最少可以确定几个平面？说明理由。
解：由于每经过同点的两条相交直线确定一个平面，所以要确定平面的个数最多，必须而且只需没有任何三条射线共面，那么任何一个射线都可以和其余的n-1条射线确定n-1个平面，如此计算，n条射线应确定n(n-1)个平面，但是这样每个平面
n?n?1?都计算了2次，所以最多可确定 2个平面。
当这n条射线共面时，确定的平面数最少，所以最少确定一个平面。
五、自测练习
一、选择题
1、下列命题正确的个数是（ ）
① ① 三点确定一个平面。 ②两两相交的三条直线共面 ③若两个平面有三个公共点，则两个平面重合。 ④两个平面有两条公共直线则两个平面重合 A、 0； B、1； C、2； D、3
2、设 表示一个点， ， 表示两条直线， ， 表示两个平面，给出下述四个命题：① ， ； ② ， ；
③ ， ， ， ； ④ ， ， ． 其中正确的命题是（ ）．
A．①，② B．②，③ C．①，④ D．③，④ 3、两两相交的三个平面最多能将空间分成（ ）部分。
A．6 B．7 C．8 D．9
4、在空间四边形 的各边 ， ， ， 上分别取 ， ， ， 四点，如果直线 ， 交于一点 ，则（ ）．
A．点 一定在直线 上 B．点 一定在直线 上 C．点 在直线 或 上 D．点 既不在直线 上也不在直线 上
5、没有三条直线共面的四条直线两两平行，它们可以确切定的平面的个数是（ ）A、2； B、4； C、6； D、8 二、填空题
6、“直线a和b相交于点M，M在平面内，且a在内，b不在内”的符号表示形式是 。
7、四条线段顺次首尾连接，能确定_____________个不同的平面；长方体中各个面上的对角线可确定___________个不同平面．
8、空间三条直线两两相交，点 不在这三条直线上，那么由点 和这三条直线最多可以确定______________个不同平面． 9、给出下述五个命题：
①一条直线和一个点可以确定一个平面
②三个平面两两相交得到三条交线，这三条交线最多只能交于一个点； ③两个平面有无数个公共点，那么这两个平面一定重合 ④三条两两相交但不交于同一点的直线在同一平面内
⑤与不共线的三个点的距离都相等的点共有一个或三个． 其中正确命题的序号是___________． 三、解答题：
10、已知直线 与三条平行线 、 、 都相交，求证： 与 、 、 共面． 11、正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C交平面BDC1 C1 D1 于O，BD与AC相交于M，求证：
C1、O、M三点共线。
B1 12、如图所示， 与 不在同一 A1 O 个平面内，如果三直线 、 、 D C 两两相交，证明：三直线 、 、
M 交于一点．
A B
自测题答案： 1、B；2、D；3、C；4、B；5、C；
6、a?b?M,M??且a??,b??； 7、1个或4个； 8、6个； 9、②④； 10、∵
，
，设
，
，
．
∴ ， 确定平面 ∴ ∴
， ．
，
同理， 、 确定平面 ，
而过 和 有且只有一个平面． ∴
与
重合．
，则平面 与 都过两相交直线 与 ，
故 、 、 、 共面． 11、∵ 又∵
、 、
、 、
平面 平面 、
、 与
，
， 、
、
共点．
． ． 在平面 ，
与
据公理2，知 三点共线 12、由推论2，可设 取 又因 于是
故三直线
与平面 ，
与
的交线上，即 分别确定平面
，
、 、
，．
，则 ，则
（公理2）