第二章 导数与微分
习题一
一、选择题
1.设f(x)在x?a处可导,则limh?0f(a?h)?f(a?h)?( )
hA.2f'(a) B. f'(a) C. ?2f'(a) D.0 2.设f(0)?0,则下述所论极限存在,则limx?0f(x)?( ) xA. f(0) B. f'(0) C. f'(x) D.0
1??xarctan,x?03.函数f(x)??,则f(x)在点x?0处( ) x??0，x?0A.间断 B.连续,但不可导 C.可导 D.可导且f'(0)?4.在x?3处可导,则常数a和b的一组值为( )
A.6和9 B.-6和-9 C.6和-9 D.-6和9
5.已知f(x)?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4),且f'(k)?3!,则k?( ) A.4 B.3 C.2 D.1
6. 设f(x)是偶函数,且在x?0处可导,则f'(0)=( ) A.1 B.-1 C.0 D.以上都不对
7.设曲线y?e1?x与直线x??1的焦点为p,则曲线在点p处的切线方程是( ) A.2x?y?2?0 B. 2x?y?1?0 C. 2x?y?3?0 D. 2x?y?3?0
2?2
?x?cost??Lt?8. 已知曲线L的参数方程是?,则曲线上出法线方程是( ) t3y?sin?2?A. 2x?4y?1?0 B. 4x?2y?1?0 C. 2x?4y?3?0 D. 4x?2y?3?0 二.填空题
1.设函数f(x)?(x2?a2)g(x),其中g(x)在点x?a处连续f'(a)? . 2.设函数f(x)在???,???可导,F(x)?f(x2?1)?f(1?x2),则F'(1)? . 3.设f(lnx)?sinx?x,则f'(x)? . 4.设y?1(x?0),则y'? . xx5.设y?x2?zx,则dy? .
6.设0?x??,则d(x?1?cotx)? d(cotx) 7.已知?(x)?af2(x),且?'(x)?2?(x),则f'(x)? .
8.y?f(x2?b),则y''? .
9.设y?y(x)由x??(y)?y确定，若?'(y)存在且?'(y)?1，则
dy? . dx三．下列各题中均假定f'(x0)存在，按照导数定义，求出下列各题中的A值（ ） （1）lim（2）limx?0?x?0f(x0??x)?f(x0)?A
?xf(x)?A 设f(0)?0,且f'(0)存在 x（3）limh?0f(x0?3h)?f(x0)?A
h（4）limh?0f(x0?2h)?f(x0?h)?A
h?ax?1x?2四.设函数f?x???2在x?2处可导,求常数a和b的值.
?x?bx?2?ae2xx?0五.设函数f?x???在点x?0处可导,求常数a和b的值.
?2?bxx?0
习题二
一、选择题
f(a?x)?f(a?x)?( ) 1. f'(a)?2,则limx?0xA.2 B.-2 C.4 D.-4
2.设函数f(x)和g(x)在x?0处可导,f(0)?g(0)?0,且g'(0)?0,则
limx?0f(x)?( ) g(x)f(x)f'(0)f'(0)f'(x)A.' B. ' C. D. '
g(0)g(x)g(0)g(x)3.下列函数中,在x?0处既连续又可导的是( ) A.f(x)??x?1,x?0?x,x?0x B. f(x)?? C. f(x)?? D.y?sinx
sinx，x?0ln(x?1)，x?0x??4.满足f'(a?b)?f'(a)?f'(b)的函数f(x)=( ) A.x2 B.x3 C.ex D.lnx
5.设f(x)?x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?(x?100),则f'(1)?( ) A.101! B.?101!100! C. ?100! D. 100991?1?cos,x?1?x?16.设a是实数,函数f(x)??(x?1)a则f(x)在x?1处可导时,必有
?0，x?1?( )
A.a??1 B.?1?a?0 C.0?a?1 D.a?1
7.若f(x)的一阶导数与二阶导数都存在,且均不等于零,其反函数为x??(y),则
?''(y)?( )
f''(x)f''(x)f''(x)1A.'' B. C. ? D. ? 223'''f(x)f(x)f(x)f(x)??????二.填空题
1.若对任意实数x,函数f(x)满足f(?x)??f(x),且f'(?x0)?k?0, 则f'(x0)? .
2.已知y?ef(x),其中f二阶可导,则y''? . x?1?3.设f???,则f'(x)? . ?x?1?x4.设抛物线y?ax2与曲线y?lnx相切,则a= . 5.设y?ln(x?x2?1),则y'? . 6.设曲线y?x3?ax与曲线y?bx2?c在点??1,0?处相切,其中a,b,c为常数, 则a= ,b= , c= . 三.求下列函数的一阶导数:
1.y?2xx2?a2?ln2 2.y?1?x1?x2
3.y?lnx1?x2 4.y?x?ln2x
5.y?sin2?3x??cos3x 6.y?ln3arcsinx 7.y?arctanx?sec2x 8.y?xsinx1?tanx
9.y?sin2xsin?x2? x10.y?2lnx
11.y?xarcsin?lnx? 12.y?cos?x?cosx?
习题三
一、选择题
1.下列函数中,在x?0处不可导的是( ) A.y?sinx B. y?cosx C.y?ln2 D.y?x 2. 下列函数中,在x?0处可导的是( )
A. y?lnx B. y?cosx C. y?sinx D. y???x2,x?00
?x，x?3.若函数f(x)???e2x,x?0a?bx,x?0在x?0处可导,则a、b的值必为( ?A.a?b??1 B. a??1,b?2 C. a?1,b??2 D. a?b?2 )
4.设函数f(x)在x?1处可导,且lim1111A. B. C. ? D. ? 3636?x?0f(1?3?x)?f(1)1?,则f'(1)?( )
?x25.曲线y?x?ex在x?0处的切线方程是( )
A.2x?y?1?0 B. 2x?y?2?0 C. x?y?1?0 D. x?y?2?0 6.曲线y?1312x?x?bx?1在点(0,1)处的切线与x轴交点的坐标是( ) 32?1??1?A.(-1,0) B.??,0? C.(1,0) D. ?,0?
?6??6?7.设y?esin2x,则dy?( )
22A.exd(sin2x) B. esinxd(sin2x) C. esin8．若函数y?f(x)有f'(x0)?x?sin2xd(sinx) D. esinxd(sinx)
21，则当?x?0时，f(x)在点x0处的微分是（ ） 2A.与?x等价的无穷小量 B.与?x同阶,但不等价的无穷小量 C.比?x高阶的无穷小量 D. 比?x低阶的无穷小量 二.填空题
f(2?mh)?f(2?nh)? 。其中1设函数f(x)在x?2处可导,且f'(1)?2,则limh?0hm,n不为零。
2.设函数f(x)的f'(0)存在,且f(x)?f(0)?4x?a(x),又lim则f'(0)? . 3.当h?0时,f(x0?2h)?f(x0)?3h是h的高阶无穷小量, 则f'(x0)? . a(x)?0,
x?0x4. 当h?0时,f(x0?5h)?f(x0?3h)?2h是h的高阶无穷小量, 则f'(x0)? . 5.过曲线y?2x2?x?2上的一点M作切线,如果切线与直线y?4x?1平行,则切点坐标为 . 6.设x?2t?1，y?12dyt?t，则= . 1 2dxx?1三．用对数求导法求下列函数的一阶导数