2013届初三数学课时专题训练
(抛物线与函数的位置关系)参考答案
一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题号 A B C B A B A A B B D A 答案 二、填空题：
2
1、y=- x2+2x+ 2、1 3、2; 4、Y=0.04x+1.6x; 5、-9. 6、（1）x＝1；（1，3） 7、y=－13、
8、
9、（1，－4）. 10、?12
11、①③④ 12、2．
. 14、MN?PN?MP??m2?3m?4
12?AB?OC?12x1?x2??34m215、S?ABC??12?2m?34m2?233
三、解答题：
1、【答案】 解：（1）由题意，可设所求抛物线对应的函数关系式为 ∴ ∴
∴所求函数关系式为：
（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，
∴ ∵四边形ABCD是菱形 ∴BC=CD=DA=AB=5
∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0）． 当
时，
，则
当时，
∴点C和点D在所求抛物线上． （3）设直线CD对应的函数关系式为
解得：
．
∴
∵MN∥y轴，M点的横坐标为t， ∴N点的横坐标也为t． 则
，
，
∴∵
， ∴当
时，
）．
，
此时点M的坐标为（，
2、【答案】解：（1）∵ 点A在抛物线C1上，∴ 把点A坐标代入得 =1.
∴ 抛物线C1的解析式为,
设B(－2,b)， ∴ b＝－4, ∴ B(－2,－4) . （2）①如图1，
∵ M(1, 5)，D(1, 2), 且DH⊥x轴，∴ 点M在DH上，MH=5. 过点G作GE⊥DH,垂足为E,
由△DHG是正三角形,可得EG=, EH=1， ∴ ME＝4. 设N ( x, 0 ), 则 NH＝x－1, 由△MEG∽△MHN,得 ∴
, ∴
,
,
∴ 点N的横坐标为．
② 当点Ｄ移到与点A重合时,如图2， 直线与DG交于点G,此时点Ｎ的横坐标最大． 过点Ｇ,Ｍ作x轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F, 设Ｎ（x，0）， ∵ A (2, 4), ∴ G (∴ NQ=，ＮF =∵ △NGQ∽△NMF， ∴
,
, 2), , GQ=2, MF =5.
∴ ,
∴ . 当点D移到与点B重合时,如图3，
直线与DG交于点D,即点B, 此时点N的横坐标最小.
∵ B(－2, －4), ∴ H(－2, 0), D(－2, －4),
设N（x，0），
∵ △BHN∽△MFN， ∴
，
∴
, ∴ . ∴ 点N横坐标的范围为 ≤x≤.
3、【答案】解：
2
（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax＋bx＋c， ∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。
又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。
2
∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x＋2x＋3。 （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。 则此时的点P，使△PAC的周长最小。 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得：
?3k+b=0?k=?1，解得：。 ??b=3b=3??∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。
（3）存在。点M的坐标为(1，6)，(1，－6)，(1，1)，(1，0)。
4、解答：解：（1）∵y=x﹣bx﹣5， ∴|OC|=5，
∵|OC|：|OA|=5：1， ∴|OA|=1， 即A（﹣1，0），…（2分）
2
把A（﹣1，0）代入y=x﹣bx﹣5得
2
（﹣1）+b﹣5=0， 解得b=4，
2
抛物线的解析式为y=x﹣4x﹣5；…（4分）
（2）∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5），设F（x0，﹣5），
2
∴x0﹣4x0﹣5=﹣5， 解得x0=0（舍去），或x0=4， ∴F（4，﹣5），…（6分） ∴对称轴为x=2，
设直线AF的解析式为y=kx+b， 把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b， 得解得
， ，
2
所以，直线FA的解析式为y=﹣x﹣1；…（8分） （3）存在．…（9分）
理由如下：①当∠FCP=90°时，点P与点E重合， ∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点， ∴E（0，﹣1）， ∴P（0，﹣1），…（10分）
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P（x1，﹣x1﹣1）， ∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5）， ∴CE=CF， ∴EP=EF， ∴CP=PF，
∴点P在抛物线的对称轴上，…（11分） ∴x1=2，
把x1=2代入y=﹣x﹣1，得 y=﹣3，
∴P（2，﹣3），
综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形．…（12分）
5、【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。 由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴
OAOC?OBOA，即
2OC?12，解得OC=4。
∴点C的坐标为（4，0）。
（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=a?x+1??x?4?， 将A（0，2）代入，得2=a?0+1??0?4?，解得a=? ∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=?13212。
12x+212?x+1??x?4?，即y=?32x+2。
1?3?253 ∵y=?x2+x+2=??x??+，∴抛物线的对称轴为x=。
222?2?82 （3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。 ∵点P（m，n）在y=?? ∴P?m，??121?2?12x+232x+2上，
m+12?m+2?。 2?3??132443 ∴S梯形AOHP??2?m2+m+2??m=?m3+m2+2m，
2
S?PHC?S?AOC=1212?4?m?????12m+2?1372m+2?=m?m+2m+424?43，
?4?2=4。
∴S=S梯形AOHP+S?PHC?S?AOC=?214m+334m+2m+214m?374m+2m+4?4=?m+4m 。
22 ∵S=m2+4m=??m?2?+4，∴当m?2时，S最大。
当m?2时，n=?12?2+3223（4）存在。点M的坐标为（, ）或（, 2221。 ?2+2=3。∴点P的坐标为（2，3）
332或（3）32, -32或（3）32, 3?10）或（, 3-2310）。
6、解：因为sin∠ABC =由勾股定理，得BO?1212AOAB2?45，AO?8，所以AB = 10．
2AB?AO?6．易知△ABO≌△ACO， 因此 CO = BO = 6．
1212于是A(0，?8)，B(6，0)，C(?6，0)．设点D的坐标为(m，n)．由S△COE?S△ADE，得S△CDB?S△AOB． 所以
BC?n?AO?BO，
?12(?n)??8?6．解得 n??4． 因此D为AB的中点，点 D的坐标为
83?(3，?4)． 因此CD，AO分别为AB，BC的两条中线，点E为△ABC的重心，所以点E的坐标为(0，)． 227设经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y?a(x?6)(x?6)．将点E的坐标代入，解得a =经过B，C，E三点的抛物线对应的二次函数的解析式为y?
227x?2． 故
83．
7、解：（1）∵抛物线y?ax2?bx?3交y轴于点C
∴ C（0，-3）则 OC=3
∵P到x轴的距离为 且在第三象限 ∴P（-1，-103103，P到y轴的距离是1
GyDF）
∵C关于直线l的对称点为A ∴A（-2，-3） 将点A（-2，-3），P（-1，-103OE）代入y?ax2?bx?3 1xABPC?a??4a?2b?3??3???3有? 10解得??a?b?3???b?23??3?122∴抛物线的表达式为 y?x?x?3
33（2）过点D做DG⊥y 轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°
∵∠DEG=∠BEC ∴△DEG∽△BEC ∵DE:BE=4:1
∴
DGBC?DEBE?4113 则DG=4
x?2将x=4代入y?23x?3，得y=5
则 D（4,5） ∵y?∴5?3434x?m过点D（4,5）
?4?m 则 m=2
34x?2
∴所求直线的表达式为 y?（3）存在 M1(,58165) M2(?8448144,) M3(?,1) M4(?,)
3552525
8、【答案】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）
?y?x?x1?2?x2??2（2）当b＝0时，直线为y?x，由?解得， ??2?y1?2?y2??2?y?x?x?4所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）
S?ABE?12?4?2?4，S?ACE?12?4?2?4
所以S?ABE?S?ACE（利用同底等高说明面积相等亦可） 当b??4时，仍有S?ABE?S?ACE成立. 理由如下
??y?x?b?x1?由?，解得?2y?x?x?4???y1?b?4??x2??b?4，?
b?4?b??y2??b?4?b所以B、C的坐标分别为（－b?4，－b?4+b），（b?4，b?4+b），