2
x2－2x＋3，x∈[－6，0] ， 且f(x)＝{x＋2x＋3，x∈?0，6]?
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．
探究提高 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、 轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时， 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．
若函数f(x)＝2x2＋mx－1在区间[－1，＋∞)上递增，则f(－1)的取值范围是
____________． 答案 (－∞，－3]
m
解析 ∵抛物线开口向上，对称轴为x＝－，
4m
∴－≤－1，∴m≥4.
4
又f(－1)＝1－m≤－3，∴f(－1)∈(－∞，－3]． 题型三 二次函数的综合应用
例3 (2012·淮安模拟)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝
1.(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
思维启迪：对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得． 解 (1)由f(0)＝1得，c＝1.∴f(x)＝ax2＋bx＋1. 又f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x，
a＋b＝0， ∴{a＝1?b＝－1. 即2ax＋a＋b＝2x，∴{2a＝2，?因此，f(x)＝x2－x＋1.
(2)f(x)>2x＋m等价于x2－x＋1>2x＋m，即x2－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g(x)＝x2－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减， ∴g(x)min＝g(1)＝－m－1，由－m－1>0得，m<－1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．
探究提高 二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起， 而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二 次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．用函数思想研究
方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．
(2012·苏州模拟)已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝
f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称． (1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)若F(x)＝g(x)－λf(x)在(－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解 (1)∵f(x)＝x2＋mx＋n，
∴f(－1＋x)＝(－1＋x)2＋m(－1＋x)＋n ＝x2－2x＋1＋mx＋n－m ＝x2＋(m－2)x＋n－m＋1， f(－1－x)＝(－1－x)2＋m(－1－x)＋n ＝x2＋2x＋1－mx－m＋n ＝x2＋(2－m)x＋n－m＋1.
又f(－1＋x)＝f(－1－x)，∴m－2＝2－m，即m＝2. 又f(x)的图象过点(1,3)， ∴3＝12＋m＋n，即m＋n＝2， ∴n＝0，∴f(x)＝x2＋2x，
又y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称， ∴－g(x)＝(－x)2＋2×(－x)， ∴g(x)＝－x2＋2x.
(2)∵F(x)＝g(x)－λf(x)＝－(1＋λ)x2＋(2－2λ)x， 2－2λ1－λ
当λ＋1≠0时，F(x)的对称轴为x＝＝，
2?1＋λ?λ＋1又∵F(x)在(－1,1]上是增函数．
??1－λ1－λ
≤－1或?1＋λ>0?≥1. ∴?1＋λ<0?1＋λ1＋λ??
∴λ<－1或－1<λ≤0.
当λ＋1＝0，即λ＝－1时，F(x)＝4x显然在(－1,1]上是增函数． 综上所述，λ的取值范围为(－∞，0]． 题型四 幂函数的图象和性质
例4 已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3 (m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函
mm
数，求满足(a＋1)－<(3－2a)－的a的取值范围．
33
思维启迪：由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3<0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值． 解 ∵函数在(0，＋∞)上递减，
∴m2－2m－3<0，解得－1 又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数， 而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， 1 ∴m＝1.而f(x)＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数， 3 11 ∴(a＋1)－<(3－2a)－等价于a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a. 3323 解得a<－1或 32 23?? 故a的取值范围为?a|a<－1或3 ? ? 探究提高 (1)幂函数解析式一定要设为y＝xα (α为常数的形式)；(2)可以借助幂函数的 图象理解函数的对称性、单调性． (2012·聊城模拟)已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)1(m∈N*) － (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数还经过点(2，2)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a 的取值范围． 解 (1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*， 而m与m＋1中必有一个为偶数，∴m(m＋1)为偶数． ∴函数f(x)＝x(m2＋m)1(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． － (2)∵函数f(x)经过点(2，2)， 1－－ ∴2＝2(m2＋m)1，即2＝2(m2＋m)1. 2∴m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2. 又∵m∈N*，∴m＝1. a－1≥0?2－a>a－1. 由f(2－a)>f(a－1)得{2－a≥0，?3 解得1≤a<. 2 3 ∴a的取值范围为[1，)． 2 2.分类讨论思想在二次函数中的应用 典例：(14分)设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1)若f(0)≥1，求a的取值范围； (2)求f(x)的最小值； (3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集． 审题视角 (1)求a的取值范围，是寻求关于a的不等式，解不等式即可；(2)求f(x)的最 小值，由于f(x)可化为分段函数，分段函数的最值分段求，然后综合在一起；(3)对a讨 论时，要找到恰当的分类标准． 规范解答 解 (1)因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以－a>0， 即a<0，由a2≥1知a≤－1， 因此，a的取值范围为(－∞，－1]．[3分] (2)记f(x)的最小值为g(a)，则有 f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a| a?2a22x－?2＋，x>a ①??x＋a?－2a，x≤a ②[5分] ＝?3?3?3?? (ⅰ)当a≥0时，f(－a)＝－2a2， 由①②知f(x)≥－2a2，此时g(a)＝－2a2.[7分] a?22 (ⅱ)当a<0时，f??3?＝3a， 2若x>a，则由①知f(x)≥a2. 3 22 若x≤a，由②知f(x)≥2a2>a2.此时g(a)＝a2， 332a?2 综上，得g(a)＝?－2a，a≥0?3，a<0.[10分] ?(3)(ⅰ)当a∈?－∞，－ 2 2 ? 6??2?∪，＋∞时，解集为(a，＋∞)； 2??2? 22?a＋3－2a2??； ?(ⅱ)当a∈－，时，解集为??，＋∞?22?3??(ⅲ)当a∈?－ ? 62?时，解集为 ，－22??a－3－2a2?∪?a＋3－2a2? ?a，??，＋∞?.[14分] 33???? 温馨提醒 分类讨论的思想是高考重点考查的数学思想方法之一．本题充分体现了分类讨论 的思想方法． 在解答本题时有两点容易造成失分： 一是求实数a的值时，讨论的过程中没注意a自身的取值范围，易出错；二是求函数最 值时，分类讨论的结果不能写在一起，不能得出最后的结论． 除此外，解决函数问题时，以下几点容易造成失分： 1．含绝对值的问题，去绝对值符号，易出现计算错误； 2．分段函数求最值时要分段求，最后写在一起时，没有比较大小或不会比较大小； 3．解一元二次不等式时，不能与一元二次函数、一元二次方程联系在一起，思路受阻. 方法与技巧 1． 二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律 (1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． (2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解． 2． 与二次函数有关的不等式恒成立问题 b2－4ac<0 . (1)ax2＋bx＋c>0，a≠0恒成立的充要条件是{a>0? b2－4ac<0 . (2)ax2＋bx＋c<0，a≠0恒成立的充要条件是{a<0? 3． 幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常 数． 失误与防范 1． 对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说 明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况． 2． 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第 二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如 果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (时间：60分钟) A组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) x2， x>0， 若f(α)＝4，则实数α等于 1． (2011·浙江)设函数f(x)＝{－x， x≤0，? ( ) A．－4或－2 B．－4或2 C．－2或4 D．－2或2 答案 B 解析 当α≤0时，f(α)＝－α＝4，得α＝－4； 当α>0时，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2. 2． 已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b等于 ( )