典型例题一
例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明．
（１）如图1，已知????l,A?l．在?内作PA?l于A，在?内作QA?l于A．
（２）如图２，已知????l,A??,A?l．作AP??于P，在?内作AQ?l于Q，连结PQ．
（３）已知????l,A??,A??．作AP??于P，AQ??于Q，l?平面
PAQ?H，连结PH、QH．
作图与证明在此省略．
说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形．
典型例题二
例2. 如图，在立体图形D?ABC中，若AB?CB,AD?CD,E是AC的中点，则下列命题中正确的是（ ）.
?CA
（A）平面ABC⊥平面ABD （B）平面ABD⊥平面BDC
（C）平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE （D）平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.
解：因为AB?CB,且E是AC的中点，所以BE?AC,同理有DE?AC，于是AC?平面BDE.因为平面ABC，所以平面ABC?平面BDE.又由于AC?平面ACD,所以平面ACD?平面BDE.所以选C.
说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.
典型例题三
例３．如图，P是?ABC所在平面外的一点，且PA?平面ABC，平面PAC?平面PBC．求证BC?AC．
分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．．
证明：在平面PAC内作AD?PC，交PC于D．因为平面PAC?平面PBC于PC，
AD?平面PAC，且AD?PC，所以AD?平面PBC．又因为BC?平面PBC，于是
有AD?BC①．另外PA?平面ABC，BC?平面ABC，所以PA?BC．由①②及AD?PA?A，可知BC?平面PAC．因为AC?平面PAC，所以BC?AC． 说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．
典型例题四
例４．如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC?平面PBC．
分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直．
证明：因为AB是⊙O的直径，C是圆周上的点，所以有BC?AC①． 因为PA?平面ABC，BC?平面ABC，则PA?BC②． 由①②及AC?PA?A，得BC?平面PAC． 因为BC?平面PBC，有平面PAC?平面PBC．
说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直?线面垂直?面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系．
典型例题五
例５．如图，点A在锐二面角??MN??的棱MN上，在面?内引射线AP，使AP与
MN所成的角?PAM为45?，与面?所成的角大小为30?，求二面角??MN??的大小．
分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解． 解：在射线AP上取一点B，作BH??于H，连结AH，则?BAH为射线AP与平面?所成的角，
??BAH?30?．再作BQ?MN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面?内的
射影．由三垂线定理的逆定理，HQ?MN，??BQH为二面角??MN??的平面角．
设BQ?a，在Rt?BAQ中，?BQA?90?,?BAM?45?,?AB?中，
2a,在Rt△BHQ2aBH22?2, ???BHQ?90,BQ?a,BH?a,sin?BQH?2BQa2??BQH是锐角，??BQH?45?,即二面角??MN??等于45?．
说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，
二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线．
典型例题六
例６．如图，将边长为a的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角C??AD?C．
（１）指出这个二面角的面、棱、平面角；
（２）若二面角C??AD?C是直二面角，求C?C的长； （３）求AC?与平面C?CD所成的角；
?（４）若二面角C??AD?C的平面角为120，求二面角A?C?C?D的平面角的正切
值．
分析：根据问题及图形依次解决．
?AD?BC,?AD?DC,AD?DC?,?二面角C??AD?C的面为ADC和解：（１）面ADC?，棱为AD，二面角的平面角为?CDC?．
（２）若?CDC??90，?AC?a,?DC?DC???12a,?CC??a． 22（３）?AD?DC?,AD?DC,?AD?平面DC?C，??AC?D为AC?与平面C?CD
所成的角．在直角三角形ADC?中，DC?DC??1AC,??DAC??30?，于是2?AC?D?60?．
（４）取CC?的中点E，连结AE、DE，
?DC??DC,AC??AC,?AE?CC?,DE?CC?， ??AED为二面角A?C?C?D的平面角．
11??C?DC?120?,C?D?CD?a,?DE?a,
243aAD3在直角三角形AED中，AD?a,?tan?AED??2?23．
1DE2a4说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量．
典型例题七
例7 正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点．求二面角A?BD1?P的大小．
分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到AB垂直于平面AD1，BD1在平面AD1上的射影就是AD1．再过P作AD1的垂线PF，则PF?面ABD1，过F作D1B的垂线FE，?PEF即为所求二面角的平面角了．
解：过P作BD1及AD1的垂线，垂足分别是E、F，连结EF． ∵AB?面AD1，PF?面AD1， ∴AB?PF，
又PF?AD1，∴PF?面ABD1．